Bonjour, cette semaine, construction et propriété de l’intégrale des fonctions continues par morceaux sur un segment.
Il y a déjà beaucoup de choses à faire en restant proche du cours. Voici une liste de questions de cours possibles.
Sur l’uniforme continuité :
- Montrer que lip-> u.continue-> continue et donner des contre-exemples pour les réciproques.
- Démontrer un sens de la caractérisation séquentielle des fonctions uniformément continues.
- Enoncer le théorème de Heine. Ne pas le démontrer mais dire quel théorème on utilise dans la démonstration et donner au moins un endroit dans le cours d’intégration où on a utilisé ce théorème.
- Exercice de la planche 50 : montrer qu’une fonction hölderienne (on pourra redonner la déf) est uniformément continue.
- Démontrer que x->x^alpha est u. continue sur R^+ pour alpha<=1 (deux méthode possibles, cf planche 50).
Sur l’approximation uniforme :
- Enoncer le théorème d’approximation uniforme (dessus/dessous) des fontions c.p.m. par les fonctions en escalier. Le démontrer dans le cas des fonctions continues.
- Définir la convergence simple et la convergence uniforme. Donner un exemple d’une suite de fonctions continues sur un segment qui converge simplement mais pas uniformément vers une fonction
- Démontrer (en admettant les propriétés de l’intégrale) qui si (f_n) CVU vers f sur un segment, dans le monde des fonctions C.P.M. alors la suite des intégrales des f_n converge vers l’intégrale de f (théorème d’intégration d’une limite uniforme).
- Que veut dire le fait que l’espace des fonctions en escaliers sur [a,b] est dense dans CM([a,b],R) pour la norme infinie ? Justifier que ce résultat est une conséquence du théorème d’approximation uniforme.
Sur la construction de l’intégrale
- Donner le théorème définition de l’intégrale des fonctions C.P.M. Indiquer le résultat clef pour sa démonstration.
- Démontrer la linéarité de l’intégrale, en raisonnant par densité à partir de l’intégrale des fonctions en escalier.
Sur les propriétés particulières de l’intégrale des fonctions continues :
- Enoncer et démontrer le théorème fondamental sur le lien intégrale primitive pour les fonctions continues.
- Enoncer et démontrer le théorème de convergence des sommes de Riemann, et le démontrer dans le cas C^1 (bonus quid du cas C^0).
- CNS d’égalité dans l’inégalité triangulaire pour les intégrales de fonctions continues.
joffremp2 