joffremp2

Cinq premières vidéo d’une dizaine de minutes sont disponibles en lien sur la page compléments de cours. A suivre… N’hésiter pas à me poser des questions !

rb

Rebonjour,

J’avais fait des petites vidéo l’an dernier pour finir le cours du chapitre T1… qui commencent exactement à l’endroit où on s’est arrêté jeudi dernier. Je mets le lien Dropbox sur la page Plan de Cours et Compléments.

Chacune est très courte, je vous demande vraiment de faire l’effort de visionner ces vidéo à petite dose avec un stylo à la main pendant ces vacances. Les démonstrations et définition feront l’objet de QdC la semaine 7 ! Cela nous permettra de vite clôturer ce cours à la rentrée et d’avoir plus de temps pour les exercices. Vous avez aussi la page 5 et 6 du poly du cours au même endroit. (les vidéos correspondant  à la page 5, on fera la page 6 ensemble à la rentrée).

rb

Bonjour à tout le monde,

comme promis j’ai enrichi la page DM. D’abord une mini modif sur le DM 4 :

DM4-2024-2025 (version 20/10 : sur le conseil de J. PPW j’ai transposé la matrice A de la Q3 ii) :

et avec une remarque de Maeva j’ai changé irréductible en réductible Q11

Ce D.M. est à rendre le jour de la rentrée (tout le monde !).

Ensuite j’ai mis deux autres DM chacun pas trop long, un DM 5 pour une semaine après la rentrée mais qu’il serait mieux de travailler pendant les vacances surtout qu’il permet de réviser le DM 3 et un DM 6  pour deux semaines après la rentrée, un peu technique sur les normes N_p. Un autre post suit  à propos du cours sur les normes.

Tout sur  la réduction des endomorphismes (trigonalisation comprise, à tous les sens du terme), et révisions des programmes d’algèbre linéaire et d’algèbre générale précédents (en fait programmes 2 à 5).

Question de cours possibles  sur le troisième chapitre de réduction : 

• Trigonalisation : démonstration par récurrence du théorème qui dit qu’un endomorphisme ayant polynôme annulateur scindé est tz.
• Caractérisations des nilpotents en termes de v.p. dans C et autre (des équivalences très simples !)
• Les élèves doivent savoir conduire la trigonalisation concrète d’une matrice 2x 2, et d’une matrice 3 x 3  donnée et même la réduction sous forme de Jordan sur ces  exemples 2×2 et 3×3.
• Théorème de décomposition sur les s.e.v. caractéristiques : il donne une tz précisée : énoncé et démonstration.
• Planche-R3-2024-2025  : les seuls exercices qui n’ont pas été traités sont le 12 et le 14. 

Format de la colle : 

• Un exercice d’algèbre de la banque CCINP : 59, 60, 61 sauf 3), 62, 64, 65, 67 à 75 (sauf les deux systèmes différentiels au 74, 75), 83 à 91, 93, 94 (ne pas négliger les exercices sur l’arithmétique dans Z et sur les polynômes)

Pour les élèves : cela fait en gros  2 exercices de la banque à travailler par jour, l’un au petit déjeuner, l’autre au goûter… essayer de panacher pour par exemple faire un exercice de réduction de la banque par jour…

•  Une question de réduction qui peut encore être une QdC ci-dessus ou un exercice des planches R1, R2, R3 ou quelque chose de proche  mais aussi  bien un exercice inconnu.

Par commodité je  remets ici le lien pour les trois planches de réduction :

Planche-R3-2024-2025

Planche-R2-2024-2025

Planche-R1-2024-2025

bonnes vacances !

Elle se trouve sur la page DS… bon w.e.

Cette semaine, tout sur la diagonalisation, les polynômes caractéristiques, Cayley-Hamilton et bien sûr tout le programme précédents. Pas de trigonalisation encore cette semaine, merci.
Nous avons fait beaucoup d’exercices : tous ceux de la Planche-R2
ont été travaillés et corrigés en classe sauf l’ex 13 et 14  et peuvent être reposés en colle.
Penser aussi aux exercices de la banque CCINP marqués en début de planche R2 et questions suivantes :

• Calcul du polynôme caractéristique d’une matrice compagnon
•  Justifier que la multiplicité géométrique d’une v.p. est inférieure ou égale à sa multiplicité algébrique.
• Démonstration de Cayley Hamilton dans le cas particulier compagnon avec le calcul du polynôme minimal.

Pour les élèves  : pour les exercices de la banque CCINP, on y rencontre le théorème qui dit qu’une matrice symétrique réelle est toujours dz dans M_n(R), que nous n’avons pas encore fait dans ce cours et qui sera traité au moment de la réduction des endomorphismes d’un e.v. euclidien.

Planche-R2-2024-2025

Bonne semaine, les vacances ne sont pas loin !

Début de l’étude de la réduction des endomorphismes et de la  diagonalisation.

• Révisions sur les formules de changement de base, pour les vecteurs et les applications linéaires.
• valeurs propres, vecteurs propres : recherche à l’aide de l’équation aux valeurs propres sur des exemples en dim. finie ou infinie.
• caractérisation : lambda v.p. d’une matrice A ssi det(A-lambda I)=0, application aux v.p. des matrices de petites tailles et des matrices triangulaires
• Démonstration du fait que des s.e.v. propres associés à des v.p. distinctes sont en somme directe
• Si lambda est v.p. d’un endomorphisme L et si P est un polynôme alors P(lambda) est v.p. de P(L). Conséquence si P est annulateur de L, Sp(L) est inclus dans Z(P).
• Les v.p. de L sont exactement les racines du polynôme minimal de L.
• Théorème de décomposition des noyaux : démonstration pour un produit de deux polynômes. On sera spécialement attentif à la bonne compréhension des objets manipulés  : P(L)(x) et pas P(L(x)) et (PQ)(L)=P(L) o Q(L) etc…
• Savoir donner le maximum de caractérisations d’une matrice diagonalisable et la C.S. « n v.p. distinctes en dim. n  » mais en fait retenir surtout et pour chaque exercice  qu’il y a d’un côté le point de vue géométrique (avec les vecteurs propres et les sev propres)  et de l’autre côté  le point de vue algébrique (avec les polynômes annulateurs, le minimal) .
• Montrer que si f est dz, alors l’endomorphisme f_F induit par f sur un s.e.v. stable F est encore dz.

Pour les colleurs : ON NE PRONONCE PAS LE MOT  POLYNÔME CARACTERISTIQUE  CETTE SEMAiNE ET de condition de diagonalisabilité avec celui-ci.

Pas d’exercice de la banque CCINP cette semaine. Pour la planche seulement  les exercices 1 à 10. Planche-R1-2024-2025

Les exercices sur les matrices semblables sont conceptuellement  importants à retravailler : « semblable » se montre avec l’endomorphisme  canoniquement associé.

Pour la recherche des v.p. on a essentiellement travaillé les deux méthodes ‘det(A-lambda I)=0’ ou bien ‘AX=lambda X’ (eq aux v.p).  L’utilisation des polynômes annulateurs pour les vp et la dz  (exercice  13 et suivants) sera retravaillée plus concrètement en début de semaine, donc sur ce sujet rester très proche du cours.

Révisions et compléments d’algèbre commutative.

La motivation principale  de cette semaine est d’introduire les idéaux des anneaux de polynômes pour la définition du polynôme annulateur d’une matrice ou d’un endomorphisme. Mais cela étant, c’est aussi l’occasion de voir et revoir un certain nombres de notions sur l’algèbre commutative, l’arithmétique et les polynômes.  Il est important de vérifier que les différentes structures (groupes, anneaux, corps, algèbres et donc idéaux) sont bien connues. Pas de résultat sur le groupes cette semaine, le cadre est celui de l’algèbre commutative.

Pour le cours :

• Qu’est-ce qu’un anneau, qu’est-ce corps ? Montrer que Z/nZ est un corps ssi Z/nZ  est intègre ssi n est un nombre premier.
• Plus généralement : pour a dans Z, montrer que la classe de a est inversible dans l’anneau Z/nZ ssi a et n sont premiers entre eux
•  savoir définir ce qu’est  un idéal et savoir la forme des idéaux de K[X] et de Z (démonstration faite dans  K[X]).
• Définir le polynôme minimal d’un matrice (resp. d’un endomorphisme d’un e.v. de dim. finie) et savoir pourquoi tout polynôme annulateur est un multiple du  polynôme minimal.
• Expliciter  le polynôme minimal d’une matrice diagonale.
• Montrer que dim K[A]=deg(mu_A).
• Montrer que si A est une matrice inversible alors A^{-1} est dans K[A].
• Montrer que si A est une matrice et P est un polynôme alors P(A) est une matrice inversible ssi P est premier avec le polynôme minimal de A.

Pour les exercices  surtout des révisions de première année sur les vérifications élémentaires sur les structures, éventuellement les congruences dans Z,  mais surtout les polynômes et notamment polynômes complexes. La planche Planche-A2-2024-2025 a été traitée sauf l’exercice 10 et on traitera le 13 lundi. 

Les exercices de la banque CCINP proposés  couvrent une partie de ce programme de révision (racines de l’unité, polynômes de Lagrange, formule de Taylor pour les polynômes).

Bonne semaine !

Peu de modifications mais la colle de Mme Ringot passe à 15h15 le mercredi et j’ai actualisé les salles. 

colloscope-MP-2024-v2

 

Semaine 2 du lundi 23 /09 :  révisions (et quelques compléments) d’algèbre linéaire.

Peu de « nouveautés » en  cours cette semaine seulement :

• Somme directe de plusieurs s.e.v.: définitions, différentes caractérisations
• Matrices par blocs : produits, opérations élémentaires sur les blocs, formule du déterminant d’une matrice triangulaire par bloc (deux démonstrations).
• Question de cours :
  • citer le plus de caractérisations possibles de « F est somme directe de F_1+..+F_m »
  • valeur et calcul du déterminant de Vandermonde
  • définition de la comatrice et « formule de la comatrice » (sans dém)
  • théorème caractérisant le rang d’une matrice avec les matrices extraites inversibles (sans dém)

L’essentiel de la semaine a été consacrée à des exercices de révisions  : on aura traité presque tous (!) les exercices de la Planche-A1-2024-2025     ci-jointe (sauf le 12, 13) qui donne un éventail des problématiques abordées.  On insistera spécialement sur la bonne maîtrise du cours et des techniques sur les déterminants qui sont souvent traités bien vite en 1ère année faute du temps nécessaire, mais bien sûr tout le programme de 1ère année est intéressant pour cette semaine. Les références à la banque CCINP concernent la banque 2024_2025 réactualisée sur le site.