joffremp2

Bonjour, un ami m’a fait découvrir des vidéo de maths sur le site d’Arte et notamment celle-ci sur  la conjecture de Poincaré très agréable à regarder je trouve !

Puisqu’on fait de la topo en ce moment, n’hésitez pas pour un moment de détente topologique…. c’est ici

Pas d’exercice de la banque CCINP cette semaine, mais des exercices de la planche à savoir refaire.

 Questions de cours possibles :

• Les compacts de E sont bornés et  fermés dans E.
• Dém de Bolzano Weierstrass dans C à partir de B.W. dans R
• Exemple d’une suite bornée n’ayant pas de v.a. dans un e.v.n. de dim. infinie
• Un fermé dans un compact est compact
• L’image d’un compact par une fonction continue est compacte. Conséquence pour les fonctions à valeurs réelles?
• Un s.e.v.  F de dim finie d’un e.v.n  E qcq est toujours fermé dans E.
• Une bijection continue partant d’un compact est un homéo.
• Exercice de la planche : sur la compacité ex. 1 à 8 et 15.

Sur la connexité par arcs :déf. image continue d’un c.p.a. et surtout :

• avoir bien compris les ex. 13 et 14 très recommandés comme applications concrètes.
• ex. 10 un peu plus conceptuel : la c.p.a. donne un invariant d’homéomorphisme.
• les ex 11 et 12 n’ont été traités qu’à moitié…

PlancheT3

Bonjour

Ulysse signale une omission avant la Q17 voici l’énoncé rectifié :

Bonjour,

pour les TP4 d’informatique où nous ferons des expériences de tris sur les ordinateurs, il serait bon,  surtout si vous utilisez votre ordinateur personnel,  que vous ayez un fichier Python des  trois tris du cours que nous avons travaillés en classe : tri par insertion, tri rapide et tri fusion. Merci donc de cliquer sur le lien souligné pour télécharger ce fichier. Vous retrouverez ce lien sur la page Informatique 2ème année.

Bonne fin d’année à vous tous

rb

Semaine 13, Lundi 3 Janvier :

Révision sur les intégrales (les trois chapitres) et les séries (les deux chapitres S1, S2  avec en plus les familles sommables S3 qui occuperont la fin de la colle).

Colle en deux temps :

1) Les colles commenceront pour tous par un exercice de la banque INP dont le numéro figure dans la liste suivante : Ex 5 à 12, 14 à 19, 25 à 30, 40, 41, 44, 45, 46, 49, 50, 53 à 56.

Remarque : dans la solution donnée par la banque pour certains exercices, par exemple 14 et 15, il est fait référence au rayon de convergence d’une série entière, notion qui n’a pas été abordée en cours. On peut toutefois répondre à ces questions sans rien savoir sur les séries entières, à vous de voir comment.

L’idéal serait que cet exercice n’occupe pas plus de la moitié de l’heure de colle.

2) On pourra ensuite poser un exercice ou une question de cours pour vérifier la connaissance du cours sur la dénombrabilité et surtout les  manipulations sur les familles sommables.

• Sur la dénombrabilité, on restera très proche du cours ;
  • Montrer que tout ensemble infini contient un ensemble dénombrable.
  • Montrer que toute partie de N est finie ou dénombrable.
  • Montrer qu’une réunion finie ou dénombrable d’ensembles dénombrable est dénombrable
  • Montrer que {0,1}^N n’est pas dénombrable (procédé diagonal à bien comprendre)
  • Citer précisément le théorème sur le développement décimal (resp. dyadique) des nombres réels dans [0,1[.
• Sur les familles sommables, on privilégiera plutôt les exercices concrets : l’essentiel est de savoir appliquer correctement les théorèmes de sommation par paquets. Néanmoins on peut déjà demander :
  • Définition de la sommabilité dans le cas des familles de réels positifs, resp. de complexes quelconque.
  • Définitions de la somme pour les familles de  réels positifs, et les réels qcq, resp. complexe
  • Pour les familles de réels POSITIFS, le calcul défini dans [0,+infini] permet de calculer avec les infinis et le théorème de sommation par paquet s’énonce dans ce cadre-là : il permet de prouver en même temps la sommabilité
  • Pour les familles de réels quelconques ou de complexes, au contraire, on doit d’abord vérifier la sommabilité (justement avec le T.S.P. dans R¨^+) avant d’appliquer le T.S.P.
  • Exemples d’exercices faits en classe : Planche-S3  Ex 1, 4,6,7,8.

Bonjour, voici une solution de ce DM, tenant compte aussi de ce que j’ai pu lire sur vos copies.

DM8-2021-2022-sol

DM8-2021-2022

On reprendra certains points en cours au moment du chapitre sur l’approximation uniforme (T4). En parlant de topologie, la semaine de la rentrée sera consacrée au chapitre T3 sur la compacité et la connexité par arc, il serait donc bon de replonger un peu dans la topo avant la rentrée (qq exos de la banque INP qui sont au programme de colles d’ailleurs concernent la topo mais peu).

Bonjour, vous voilà sorti.e.s du DS de physique en plein forme pour attaquer pour le bon le DM 8 de maths…. réjouissez vous, je viens (enfin) de relire soigneusement le sujet (en rédigeant un corrigé ce qui est la meilleure façon de voir les bêtises).

Il n’en restait pas beaucoup grâce au bon travail de relecture de Yacine, (du moins je crois) juste :

• manquait un 1/2 dans la déf. de la fonction gratte-ciel avant la Q0 (ça craint, merci Paul).
• manquait une VALEUR ABSOLUE dans un membre de  l’égalité de la question 3
• Enfin  sans avoir trouvé d’autres erreurs j’ai modifié légèrement la formulation des Q7, Q14, Q15 pour qu’elles soient plus aidantes.

DM8-2021-2022(les modif sont soulignées en rouge)

Pour les 5/2 (ou 3/2 très rapides) qui auraient déjà tout fini, il serait bon de méditer la partie III du DS 4 à la lumière de ce DM : dans ce DS 4 III,  on montre Weierstrass ‘trigonométrique’  à partir de l’accélération de  la convergence de la  série de Fourier de f (l’accélération c’est  le facteur r^n), ces séries accélérées étant réinterprétées comme une convolution de f avec le noyau de Poisson P_r.

 

Intégrales à paramètres : quatre théorèmes (sans dém. mais tous déduits du théorème de convergence dominée de Lebesgue), les énoncés doivent être sus parfaitement.

• Théorème de convergence dominée à paramètre dans un e.v.n de dim. finie
• Théorème de continuité sous le signe intégral : illustration sur la continuité de la transformée de Laplace en variable réelle et en variable complexe, pour une fonction c.p.m. bornée sur R¨^+.
• Théorème de dérivabilité sous le signe intégral (cadre C^1 du programme).
• Théorème de caractère C^k.,  illustration :   savoir démontrer que la fonction Gamma est C^infini sur R^{+*}
• Les exercices 1 à 5 de la Planche-I3 sont exigibles, ainsi que les deux exercices de la banque CCINP marqués sur la planche.
• Les connaissances des deux chapitres d’intégration précédents (I1 : intégrales généralisées semaine 2 et I2 : suites d’intégrales semaine 11) sont encore exigibles.

On prendra  garde à toujours commencer par justifier l’existence des intégrales considérées.

Semaine 11, Lundi 6 Décembre :

Au menu, suites d’intégrales et intégration terme à terme de séries.

Quatre théorèmes à connaître:

• Intégration sur un segment de la limite uniforme d’une suite de fonction continue (p.m.), avec dém.
• Théorème de convergence dominée de Lebesgue (bizarrement, sans démonstration).
• Sommation terme à terme sur un segment d’une série de fonction qui CVU (frère du théorème 1)
• Théorème d’intégration terme à terme dans le cadre des intégrales de Lebesgue.
• Pour le reste de la pratique,  de la pratique  :
• Planche-I2 :seuls les ex 1 à 5 b) ont été traités en classe pour l’instant. On peut aussi poser les trois exercices de la Banque CCINP marqués en haut de la planche.

• En revanche beaucoup d’autres exercices dans le cours comme :
• Suite des intégrales de Wallis : comment obtenir un équivalent?
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Bonjour, je vous avais promis une vue 3D de z-> |zeta(z)|. En fait la fonction zeta est déjà définie dans Geogebra. Il suffit donc de rentrer:

Fonction(abs(zeta(x + ί y)), x,-10, 10, y,-10, 10)

pour voir une belle cheminée au dessus du point d’affixe 1. Bien sûr, nous ne connaissons zeta(z) que pour z de partie réelle strictement plus grande que 1.

Bon pour le DM on reste dans R….