Semaine 15: du lundi 16 janvier
Thème : compacité, connexité par arcs et révisions de topologies des e.v.n.
On restera d’abord proche du cours avec des QdC ou de révisions (avec les exercices de la banque CCINP ci-dessous).
Pour les plus à l’aise, on pourra s’essayer à des exercices y compris reliés à l’algèbre linéaire… (revoir dans ce cas les exercices de la planche T2 sur la topo. matricielle).
Questions de cours possibles :
- Montrer le théorème de Bolzano-Weierstrass (B.W.) dans C en admettant le résultat dans R.
- Montrer qu’un compact de E est fermé borné dans E.
- Montrer qu’un fermé dans un compact est compact.
- Donner un exemple de fermé borné non compact (aussi exercice 13 banque CCINP sur ce sujet mais penser au cadre préhilbertien aussi).
- Montrer que l’image continue d’un compact est compacte.
- Théorème des bornes atteintes pour les fonctions d’un compact dans R.
- B.W. en dim. finie : les compact d’un e.v.n. de dim. finie sont les fermés bornés.
- Montrer qu’un s.e.v. de dim. finie est toujours fermé dans tout e.v.n.
- Parties connexes par arc (c.p.a.) de R?
- Image continue d’un c.p.a.
- Connexité par arc pour montrer qu’une fonction d’un intervalle I de R dans R continue injective est strictement monotone.
Les exercices sur la compacité de la Planche-T3, ont tous été traités mais certains sont difficiles.
Par contre l’exercice sur les fonctions coercives doit être bien compris et adapté à des situations simples, y compris éventuellement en variable réelle. De même les questions de distances à un sous-ensemble, à un compact …
Révisions sur les e.v.n. : exercices sur les e.v.n. de la banque CCINP. Ex 13, 34, 35, 36, 37, 38, 44, 45.
Planches : Planche-T3, Planche-T2
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