Colles maths sem 10 : lundi 01/12

Suites et séries de fonctions.

Convergence simple, uniforme, uniforme sur tout segment, normale et théorème de régularités des limites C^0,C^1, C^p (avec valeur des dérivées..) ,  intégration d’une limite uniforme sur un segment, interversion des limites, déclinés en version suites et séries.

Connaissance précise des théorèmes et application efficace des méthodes !

  • On pourra demander un énoncé précis de théorème en début de colle. On attend  du soin sur ces énoncés !
  • Démonstration du théorème de continuité d’une limite uniforme d’une suite de fonctions continues (idée importante  « couper en trois » et attention à l’ordre des choix).
  • Démonstration (facile !) du théorème d’intégration d’une limite uniforme  sur un segment.
  • Le théorème d’interversion des limites a été admis : l’énoncé doit être bien restitué en version suite et en version séries (« sommation des limites »).
  • Exemple de la fonction zeta réelle : plusieurs questions possibles : continuité,  caractère C infini, limite à l’infini 
  • Cas où le théorème d’interversion des limites ne s’applique pas : comment montrer que zeta(x) tend vers l’infini quand  x tend vers 1 avec la déf de la limite (question plus difficile bonus ci-dessous méthode plus simple avec l’équivalent).
  • Exemple de la suite des fonctions x-> n sin(x/n) méthode pour la CVU sur les segments et pourquoi on n’ a pas CVU sur R
  • Recherche d’équivalent de la somme d’une série de fonction :
    • Méthode d’encadrement par des intégrales pour un équivalent quand x->1 de la fonction zeta (encore elle !)
    • Méthode qui ramène à l’application du théorème d’interversion des limites en divisant par le candidat équivalent faite sur la somme des x/(n^a (1+nx^2))
  • Exercice de la Planche-S2-2025-2026 :   les ex 1 à 6 et 9 et 10 ont été traités et donnent déjà pas mal d’exemples de méthodes. On traitera sûrement 11 et 12 en début de semaine.
  • Exercice de la banque CCINP ; il y en a beaucoup (cf. haut de la pl S2) : les élèves doivent en travailler au moins 4 pour cette semaine, leur demander ceux qu’ils ont travaillés.

Bonne semaine !

Colles de maths sem 9 : lundi 24/11

Semaine 9 : du lundi 24 novembre : intégrales généralisées et (si possible)  compléments sur les applications linéaires continues.

  1. On commencera la colle par une étude d’intégrabilité de fonction à l’aide des théorèmes de comparaison : o, O, équivalents, majorations de l’intégrande .

2.  Thème d’Exercices possibles : 

–Notion d’intégrale généralisée  convergente/divergente sur un intervalle I.

-Notion d’intégrale absolument convergente et notion associée de fonction intégrable.

Pour les étudiants : majoration toujours de la valeur absolue de l’intégrande !

-Exemple d’intégrale semi-convergente : cas de sin(t)/t^a avec a dans ]0,1], expliquer. Savoir justifier que l’intégrale du sinus cardinal sur [1,+infini[ est convergente et non absolument convergente.

-Pratique des IPP et changement de variables.

-Théorème d’intégration des relations de comparaison, et méthode d’I.P.P. pour trouver des équivalents.

On attend un travail personnel de révision  des méthodes de CALCUL d’intégrales vues en 1ère année,  tableau de primitive à bien connaître, méthodes pour les fonctions rationnelles, ou trigonométriques … on pourra se tester aussi sur le verso de la planche I1 qui ne sera pas corrigé en classe.

Planche I1 : Planche-I1-2025-2026 on aura traité les exercices 1, 2, 3 et 5. Voir aussi les exercices de la banque cités en haut de planche.

3) Pour les élèves les plus rapides : on peut interroger, en restant très proche du cours, sur les applications linéaires continues et les normes subordonnées.

Question de cours :

-définitions équivalentes de la continuité d’une application linéaire

-définition équivalentes des normes subordonnées

-les normes subordonnées sont des normes d’algèbre

-si l’espace de départ est de dim. finie les applications linéaires sont toujours continues.

Exemples sur la banque CCINP ex 1, 36, 38, 39.

Bonne semaine !

Colles de maths sem 8 : lundi 17/11

 Ouverts, fermés, continuité 

Topologie des e.v. normés, avec comme QdC possibles :

  • définitions et caractérisations de  (au choix des personnes qui interrogent)  ouvert, fermé, adhérences, intérieurs…
  • Montrer qu’une boule ouverte est ouverte.
  • Montrer que l’adhérence d’une boule ouverte est la boule fermée
  • Exercice : Montrer qu’un s.e.v. strict est d’intérieur vide.
  • Caractérisation séquentielle des points adhérents.
  • Lien complémentaire de l’adhérence/intérieur du complémentaire (etc)
  • Ouverts et fermés relatifs, déf. et caractérisation admise.
  • déf. de la continuité en un point et caractérisation avec les voisinages.
  • caractérisation globale de la continuité : une seule implication est au programme officiel:  si f est continue de  A  dans F alors  la préimage d’un ouvert de F est un ouvert de A (resp. avec fermé) : démo. non exigible, par contre : savoir bien la mettre en oeuvre pour montrer que tel ensemble est ouvert ou fermé.
  • Savoir justifier qu’une application donnée est continue : théorème d’opération, continuité des formes coordonnées, et donc des fonctions polynomiales ou rationnelles.
  • Définir ce qu’est un homéomorphisme et pourquoi l’image d’un ouvert par un homéo est un ouvert. Donner. un exemple de fonction continue bijective qui n’est pas un homéo.
  • Sur la planche T2 : les exercices 1 à 14 sauf 7.  Planche-T2-2025-2026. 

Le paragraphe sur les applications linéaires continues et normes d’opérateurs n’a pas encore été vu.

Bonne semaine à tout le monde.

Colles de maths sem 7 : lundi 10/11

Thème : espaces vectoriels normés : normes et suites, séries avec révisions sur les séries numériques.

  1. La colle commencera par un exercice de révision sur les séries numériques, assez élémentaire avec une série de terme général u_n explicite dont on détermine la nature avec les outils des développements asymptotiques et autres majorations. Pour les élèves : ce calcul ne doit pas occuper plus de 15 minutes, si possible moins (Les DL les DL les DL les DL,  et potiron et  O(1/n^2) nos amis).

2. Sur le cours nouveau : normes et suites/séries dans un e.v.n. voici quelques questions de cours possibles : 

  • Montrer que la norme infinie sur l’espace des fonctions bornées sur un ensemble quelconque  valeurs dans K, à est bien une norme (on sera très précis pour les arguments sur les sup.) (attention pour les étudiants le sup n’est pas supposé être un max.)
  • Comparer N_1,N_2,N_infini dans R^n (inégalités).
  • Montrer que N_1 et N_infini ne sont pas équivalentes dans C([0,1],R).
  • Théorème pour les produits de limites de suites dans une algèbre normée (c’est à dire munie d’une norme d’algèbre, avec démonstration)
  • Justifier que dans un evn de dim. finie, la convergence d’une suite se vérifie « coordonnée par coordonnée ».
  • Justifier que dans un evn de dim. finie, une série absolument convergente est convergente.
  • Justification de l’existence de l’exp. matricielle
  • Calcul de l’exponentielle d’une matrice diagonalisable, justifier.
  • Pour ce qui est de la planche T1 : tous les exercices ont été traités sauf le 9, le 11 f),  le 14, le 15 c) et le 17. Planche-T1-2025-2026

3. Un exercice inconnu sur la demi heure restante (pour   la Colle idéale !) 

Bonne semaine à tout le monde !

Site à jour en maths…

Rebonjour, je viens de mettre en ligne :

-page DM une solution du DM 4, ainsi que, pour les 5/2 par exemple un sujet CCM¨P sur le même thème, l’énoncé du DM5 que vous avez en papier

-page plan du cours et compléments : le cours du T1 que vous devez travailler ainsi que la planche T1;

Si cependant il manque encore quelque chose merci de me le signaler

rb

P.S. pour les gens qui ont des tipe avec moi, n’oubliez pas votre tipe ! Je vais écrire qq topos pour certains… à suivre

Colles de maths sem 6 : rentrée 03/11

Semaine 6 du lundi 3 novembre 2025 : 

Toute la réduction des endomorphismes (trigonalisation comprise, à tous les sens du terme), et révisions ses programmes d’algèbre linéaire et d’algèbre générale précédents (en fait programmes 2 à 5).

  • Trigonalisation : démonstration par récurrence du théorème qui dit qu’un endomorphisme ayant polynôme annulateur scindé est tz.
  • Caractérisations des nilpotents en termes de v.p. dans C et autre (des équivalences très simples !)
  • Théorème de décomposition sur les s.e.v. caractéristiques : il donne une tz précisée : énoncé et démonstration.
  • Les élèves doivent savoir conduire la trigonalisation concrète d’une matrice 2x 2, et d’une matrice 3 x 3  donnée (exemples en cours et mieux trigonalisation sous forme de Jordan vue en exercice pour ces tailles 2×2 et 3×3)..

Format de cette  colle de révision : 

1) Un exercice connu qui peut être :

 2) Un exercice inconnu

Bonnes vacances (avec deux exos ccinp par jours !).

Colles de maths semaine 5 : lundi 13/10

:

  • Cette semaine, tout sur la diagonalisation, les polynômes caractéristiques, Cayley-Hamilton et bien sûr tout le programme précédent. Pas de trigonalisation encore cette semaine, merci.
    Nous avons fait beaucoup d’exercices : tous ceux de la Planche-R2-2025-2026
    ont été travaillés et corrigés en classe sauf les 7,8,9,  et peuvent être reposés en colle.
    Penser aussi aux exercices de la banque CCINP marqués en début de planche R2 et questions suivantes :
  • Calcul du polynôme caractéristique d’une matrice compagnon
  • Comparaison entre le polynôme caractéristique d’un endomorphisme et celui de sa restriction à un s.e.v. stable
  •  Justifier que la multiplicité géométrique d’une v.p. est inférieure ou égale à sa multiplicité algébrique.
  • Caractérisation de la diagonalisabilité de L avec chi_L scindé ET multiplicité algébriques des v.p. égale multiplicité géométrique.

Pour les élèves  : pour les exercices de la banque CCINP, on y rencontre le théorème qui dit qu’une matrice symétrique réelle est toujours dz dans M_n(R), que nous n’avons pas encore fait dans ce cours et qui sera traité au moment de la réduction des endomorphismes d’un e.v. euclidien.

Colles de maths sem 4 : lundi 6/10

Début de l’étude de la réduction des endomorphismes et de la  diagonalisation.

  • Révisions sur les formules de changement de base, pour les vecteurs et les applications linéaires.
  • valeurs propres, vecteurs propres : recherche à l’aide de l’équation aux valeurs propres sur des exemples en dim. finie ou infinie.
  • caractérisation : lambda v.p. d’une matrice A ssi det(A-lambda I)=0, application aux v.p. des matrices de petites tailles et des matrices triangulaires
  • Démonstration du fait que des s.e.v. propres associés à des v.p. distinctes sont en somme directe
  • Si lambda est v.p. d’un endomorphisme L et si P est un polynôme alors P(lambda) est v.p. de P(L). Conséquence si P est annulateur de L, Sp(L) est inclus dans Z(P).
  • Les v.p. de L sont exactement les racines du polynôme minimal de L.
  • Théorème de décomposition des noyaux : démonstration pour un produit de deux polynômes. On sera spécialement attentif à la bonne compréhension des objets manipulés (P(L)(x) et pas P(L(x)) et (PQ)(L)=P(L)o Q(L) etc…)
  • Savoir donner le maximum de caractérisations d’une matrice diagonalisable et la C.S. « n v.p. distinctes en dim. n  » mais en fait retenir surtout et pour chaque exercice  qu’il y a d’un côté le point de vue géométrique (avec les vecteurs propres et les sev propres)  et de l’autre côté  le point de vue algébrique (avec les polynômes annulateurs, le minimal) .
  • Montrer que si f est dz, alors l’endomorphisme f_F induit par f sur un s.e.v. stable F est encore dz.

Pour les colleurs : ON NE PRONONCE PAS LE MOT  POLYNÔME CARACTERISTIQUE  CETTE SEMAiNE ET de condition de diagonalisabilité avec celui-ci.  Planche-R1-2025-2026 Ex 1 à 9 (sauf 3) et 13 à 16