Auteur : romainbondil

Cette semaine, tout sur la diagonalisation, les polynômes caractéristiques, Cayley-Hamilton et bien sûr tout le programme précédents. Pas de trigonalisation encore cette semaine, merci.
Nous avons fait beaucoup d’exercices : tous ceux de la Planche-R2
ont été travaillés et corrigés en classe sauf l’ex 13 et 14  et peuvent être reposés en colle.
Penser aussi aux exercices de la banque CCINP marqués en début de planche R2 et questions suivantes :

• Calcul du polynôme caractéristique d’une matrice compagnon
•  Justifier que la multiplicité géométrique d’une v.p. est inférieure ou égale à sa multiplicité algébrique.
• Démonstration de Cayley Hamilton dans le cas particulier compagnon avec le calcul du polynôme minimal.

Pour les élèves  : pour les exercices de la banque CCINP, on y rencontre le théorème qui dit qu’une matrice symétrique réelle est toujours dz dans M_n(R), que nous n’avons pas encore fait dans ce cours et qui sera traité au moment de la réduction des endomorphismes d’un e.v. euclidien.

Planche-R2-2024-2025

Bonne semaine, les vacances ne sont pas loin !

Début de l’étude de la réduction des endomorphismes et de la  diagonalisation.

• Révisions sur les formules de changement de base, pour les vecteurs et les applications linéaires.
• valeurs propres, vecteurs propres : recherche à l’aide de l’équation aux valeurs propres sur des exemples en dim. finie ou infinie.
• caractérisation : lambda v.p. d’une matrice A ssi det(A-lambda I)=0, application aux v.p. des matrices de petites tailles et des matrices triangulaires
• Démonstration du fait que des s.e.v. propres associés à des v.p. distinctes sont en somme directe
• Si lambda est v.p. d’un endomorphisme L et si P est un polynôme alors P(lambda) est v.p. de P(L). Conséquence si P est annulateur de L, Sp(L) est inclus dans Z(P).
• Les v.p. de L sont exactement les racines du polynôme minimal de L.
• Théorème de décomposition des noyaux : démonstration pour un produit de deux polynômes. On sera spécialement attentif à la bonne compréhension des objets manipulés  : P(L)(x) et pas P(L(x)) et (PQ)(L)=P(L) o Q(L) etc…
• Savoir donner le maximum de caractérisations d’une matrice diagonalisable et la C.S. « n v.p. distinctes en dim. n  » mais en fait retenir surtout et pour chaque exercice  qu’il y a d’un côté le point de vue géométrique (avec les vecteurs propres et les sev propres)  et de l’autre côté  le point de vue algébrique (avec les polynômes annulateurs, le minimal) .
• Montrer que si f est dz, alors l’endomorphisme f_F induit par f sur un s.e.v. stable F est encore dz.

Pour les colleurs : ON NE PRONONCE PAS LE MOT  POLYNÔME CARACTERISTIQUE  CETTE SEMAiNE ET de condition de diagonalisabilité avec celui-ci.

Pas d’exercice de la banque CCINP cette semaine. Pour la planche seulement  les exercices 1 à 10. Planche-R1-2024-2025

Les exercices sur les matrices semblables sont conceptuellement  importants à retravailler : « semblable » se montre avec l’endomorphisme  canoniquement associé.

Pour la recherche des v.p. on a essentiellement travaillé les deux méthodes ‘det(A-lambda I)=0’ ou bien ‘AX=lambda X’ (eq aux v.p).  L’utilisation des polynômes annulateurs pour les vp et la dz  (exercice  13 et suivants) sera retravaillée plus concrètement en début de semaine, donc sur ce sujet rester très proche du cours.

Révisions et compléments d’algèbre commutative.

La motivation principale  de cette semaine est d’introduire les idéaux des anneaux de polynômes pour la définition du polynôme annulateur d’une matrice ou d’un endomorphisme. Mais cela étant, c’est aussi l’occasion de voir et revoir un certain nombres de notions sur l’algèbre commutative, l’arithmétique et les polynômes.  Il est important de vérifier que les différentes structures (groupes, anneaux, corps, algèbres et donc idéaux) sont bien connues. Pas de résultat sur le groupes cette semaine, le cadre est celui de l’algèbre commutative.

Pour le cours :

• Qu’est-ce qu’un anneau, qu’est-ce corps ? Montrer que Z/nZ est un corps ssi Z/nZ  est intègre ssi n est un nombre premier.
• Plus généralement : pour a dans Z, montrer que la classe de a est inversible dans l’anneau Z/nZ ssi a et n sont premiers entre eux
•  savoir définir ce qu’est  un idéal et savoir la forme des idéaux de K[X] et de Z (démonstration faite dans  K[X]).
• Définir le polynôme minimal d’un matrice (resp. d’un endomorphisme d’un e.v. de dim. finie) et savoir pourquoi tout polynôme annulateur est un multiple du  polynôme minimal.
• Expliciter  le polynôme minimal d’une matrice diagonale.
• Montrer que dim K[A]=deg(mu_A).
• Montrer que si A est une matrice inversible alors A^{-1} est dans K[A].
• Montrer que si A est une matrice et P est un polynôme alors P(A) est une matrice inversible ssi P est premier avec le polynôme minimal de A.

Pour les exercices  surtout des révisions de première année sur les vérifications élémentaires sur les structures, éventuellement les congruences dans Z,  mais surtout les polynômes et notamment polynômes complexes. La planche Planche-A2-2024-2025 a été traitée sauf l’exercice 10 et on traitera le 13 lundi. 

Les exercices de la banque CCINP proposés  couvrent une partie de ce programme de révision (racines de l’unité, polynômes de Lagrange, formule de Taylor pour les polynômes).

Bonne semaine !

Peu de modifications mais la colle de Mme Ringot passe à 15h15 le mercredi et j’ai actualisé les salles. 

colloscope-MP-2024-v2

 

Semaine 2 du lundi 23 /09 :  révisions (et quelques compléments) d’algèbre linéaire.

Peu de « nouveautés » en  cours cette semaine seulement :

• Somme directe de plusieurs s.e.v.: définitions, différentes caractérisations
• Matrices par blocs : produits, opérations élémentaires sur les blocs, formule du déterminant d’une matrice triangulaire par bloc (deux démonstrations).
• Question de cours :
  • citer le plus de caractérisations possibles de « F est somme directe de F_1+..+F_m »
  • valeur et calcul du déterminant de Vandermonde
  • définition de la comatrice et « formule de la comatrice » (sans dém)
  • théorème caractérisant le rang d’une matrice avec les matrices extraites inversibles (sans dém)

L’essentiel de la semaine a été consacrée à des exercices de révisions  : on aura traité presque tous (!) les exercices de la Planche-A1-2024-2025     ci-jointe (sauf le 12, 13) qui donne un éventail des problématiques abordées.  On insistera spécialement sur la bonne maîtrise du cours et des techniques sur les déterminants qui sont souvent traités bien vite en 1ère année faute du temps nécessaire, mais bien sûr tout le programme de 1ère année est intéressant pour cette semaine. Les références à la banque CCINP concernent la banque 2024_2025 réactualisée sur le site.

Elle se trouve ici DM2-2024-2025-sol et sur la page DM.

Voilà c’est ici

banque finale sans corr session 2025_v2

banque finale avec corr session 2025_v2

et sur la page Pratique Classe/Concours pour toute l’année.

Pour la planche S1 de cette semaine, la numérotation des exercices fait encore référence à la version 2024 (notamment pour l’exercice 1 !)

Dans la nouvelle numérotation 2025 les exercices pertinents pour cette semaine sont le 5,6,7 et début du 8.

bonne semaine

rb

Les colles comprendront (toute l’année) soit une question de cours, soit un exercice de la planche (ou une partie de celui-ci) soit encore un exercice de la banque CCINP dont le numéro figure sur la planche. 

Planche-S1-2024-2025 : toute la planche a été traitée sauf l’ex. 13 (et le 19 n’a été ttaité dans le cas p=2, q=3).

On testera  systématiquement que les élèves sont bien à l’aise avec les manipulations  de  D.L.

« Questions de cours  » (alternative à un des exercices de la planche) :

• Définition de la divergence grossière :  savoir démontrer que si la série de terme général (u_n) converge alors (u_n) tend vers zéro.
• Test de d’Alembert avec démonstration.
• Citer précisément le théorème de sommation des relations de comparaison et démontrer qu’il entraîne le théorème de convergence en moyenne de Cesaro.
• Savoir justifier le développement asymptotique de H_n à la précision o(1) de deux façons différentes (il y en a trois dans le cours).
• On peut aussi demander le terme d’après du développement asymptotique de H_n.
• Pour les familles sommables : citer les deux théorèmes de sommation par paquets (cas positifs, cas quelconque) et savoir s’en servir pour la sommation des (-1)^p/q^p.

Bonne rentrée des colles !

Bonjour

voici une version du colloscope avec presque toutes les salles, telles que je les connais ce jeudi.

Il est très probable qu’il y ait des changements c’est pourquoi je vous ai recommandé de reporter ces numéros de salles au crayon sur la version papier que je vous ai fournie.

Ce colloscope est aussi sur la page Pratique Classe/Concours

Attention : les colles de français du jeudi commencent à 16h15 et pas 16h45 comme j’avais marqué par erreur sur la version papier que vous avez

bonnes colles !!

Bonjour,

pour des raisons techniques, j’ai dû changer le numéro de certains trinômes que vous aviez constitués (juste le numéro pas les membres !). Voici donc la liste des trinômes, vous la retrouverez aussi sur la page Pratique Classe/Concours. Liste-trinome-MP-2024

Comme indiqué aussi sur cette page pratique : les  trinômes impairs n’ont PAS TP d’info le mardi semaine impaire : ils finissent à 15h et commencent à 8h le vendredi alors.

Les semaines paires ce sont les trinômes pairs qui n’ont PAS  info le mardi et commencent à 8h le vendredi  et la semaine qui va venir est semaine 0 donc paire. Merci de bien vérifier votre numéro de trinôme !

bon w.e.

rb