Auteur : romainbondil

Programme de colles semaine 16.

Semaine 16 : du lundi 23 janvier

Thème : approximation dans les espaces de fonctions : norme infinie, norme euclidienne… et révisions, compléments  de première année  sur les espaces préhilbertiens.

« Question de cours » possibles :

  • Citer le théorème d’approximation uniforme des fonctions c.p.m. par des fonctions en escalier et savoir l’appliquer pour démontrer le théorème de Riemann-Lebesgue sur un segment (thme H.P. mais à connaître aussi bien pour le résultat que pour la méthode).
  • Citer le théorème d’approximation de Weierstrass  et montrer qu’on ne peut pas espérer une CVU sur R entier car si une suite de polynômes CVU sur R entier….
  • Savoir refaire la Q3 et le « lemme de Dirac » du TD  : TD-Chap-T4-convolution-Weierstrass
  • Espaces préhilbertiens : montrer que le produit scalaire (p.s.) est une forme bilinéaire continue.
  • Exercice : lemme des moments : Capture d’écran 2023-01-21 à 11.07.33
  • Savoir montrer:Capture d’écran 2023-01-21 à 11.10.17
  • Donner des exemples de sev stricts denses dans deux espaces préhilbertiens différents.
  • Calcul pratique de l’orthogonalisation de Gram-Schmidt : par exemple de (1,X,X^2) pour un p.s. intégrale.
  • Formule du projeté orthogonal  sur F si on a une base orthogonale de F : calculs concrets.
  • Théorème de meilleure approximation par le projeté orthogonal, dém (Pythagore)
  • Applications concrètes de ce théorème de meilleure approximation pour la minimisation d’une intégrale…. et dans le cadre matriciel cf. Banque CCINP ex. 80, 81 et 82.
  • Exercice de la Planche-T4: seuls les ex. 4,5,6,7 sont « exigibles ».

Programme de colles de maths sem. 15

Semaine 15: du lundi 16 janvier

Thème : compacité, connexité par arcs et révisions de topologies des e.v.n.

On restera d’abord proche du cours avec des QdC ou de révisions (avec les exercices de la banque CCINP ci-dessous).

Pour les plus à l’aise, on pourra s’essayer à des exercices y compris reliés à l’algèbre linéaire…  (revoir dans ce cas les exercices de la planche T2 sur la topo. matricielle).

Questions de cours possibles :

  • Montrer le théorème de Bolzano-Weierstrass (B.W.) dans C en admettant le résultat dans R.
  • Montrer qu’un compact de E est fermé borné dans E.
  • Montrer qu’un fermé dans un compact est compact.
  • Donner un exemple de fermé borné non compact (aussi exercice 13 banque CCINP sur ce sujet mais penser au cadre préhilbertien aussi).
  • Montrer que l’image continue d’un compact est compacte.
  • Théorème des bornes atteintes pour les fonctions d’un compact dans R.
  • B.W. en dim. finie : les compact d’un e.v.n. de dim. finie sont les fermés bornés.
  • Montrer qu’un s.e.v. de dim. finie est toujours fermé dans tout e.v.n.
  • Parties connexes par arc (c.p.a.) de R?
  • Image continue d’un c.p.a.
  • Connexité par arc pour montrer qu’une fonction d’un intervalle I de R dans R  continue injective est strictement monotone.

Les exercices  sur la compacité de la  Planche-T3, ont tous été traités mais certains sont difficiles.

Par contre l’exercice sur les fonctions coercives doit être bien compris et adapté à des situations simples, y compris éventuellement en variable réelle. De même les questions de distances à un sous-ensemble, à un compact …

Révisions sur les e.v.n. : exercices sur les e.v.n. de la banque CCINP. Ex 13, 34, 35, 36, 37, 38, 44, 45.

Planches : Planche-T3, Planche-T2

Programme de colles semaine 14 :

Semaine 14 : du lundi 9 janvier

Structure de la colle : une question de cours qui peut être très rapide sur la dénombrabilité et un exercice plus important sur les intégrales à paramètres.

Cours et planche sur la dénombrabilité :

  • Montrer que tout ensemble infini contient un sous-ensemble dnb,
  • Montrer que toute partie de N est finie ou dnb, et donc aussi toute partie d’un ensemble dnb est dnb
  • Montrer que NxN est dnb et pourquoi le produit de deux ensembles dnb est dnb
  • Pourquoi Q est-il dnb?
  • Une union dnb d’ensembles dnb est dnb
  • Un produit fini d’ensemble dnb est dnb (réc. immédiate non demandée) contre-exemple pour un produit infini, construction diagonale de Cantor.
  • Déf du développement décimal ou dyadique propre de R, application à la non dnb.

Planche-I3-P0

Un exercice « inconnu » sur les intégrales à paramètres :

voici  les exercices des deux planches qui ont tous été traités   Planche-I3 Planche-I3-P0 (sauf l’ex. sur la convolution qui est quasi immédiat).