Bonjour
voici la documentation Centrale bien pratique pour les questions de calculs matriciels avec Python pour le DM12 (que je vous donnerai en papier demain).
Auteur : romainbondil
Programme de colles semaine 16.
Semaine 16 : du lundi 23 janvier
Thème : approximation dans les espaces de fonctions : norme infinie, norme euclidienne… et révisions, compléments de première année sur les espaces préhilbertiens.
« Question de cours » possibles :
- Citer le théorème d’approximation uniforme des fonctions c.p.m. par des fonctions en escalier et savoir l’appliquer pour démontrer le théorème de Riemann-Lebesgue sur un segment (thme H.P. mais à connaître aussi bien pour le résultat que pour la méthode).
- Citer le théorème d’approximation de Weierstrass et montrer qu’on ne peut pas espérer une CVU sur R entier car si une suite de polynômes CVU sur R entier….
- Savoir refaire la Q3 et le « lemme de Dirac » du TD : TD-Chap-T4-convolution-Weierstrass
- Espaces préhilbertiens : montrer que le produit scalaire (p.s.) est une forme bilinéaire continue.
- Exercice : lemme des moments :
- Savoir montrer:
- Donner des exemples de sev stricts denses dans deux espaces préhilbertiens différents.
- Calcul pratique de l’orthogonalisation de Gram-Schmidt : par exemple de (1,X,X^2) pour un p.s. intégrale.
- Formule du projeté orthogonal sur F si on a une base orthogonale de F : calculs concrets.
- Théorème de meilleure approximation par le projeté orthogonal, dém (Pythagore)
- Applications concrètes de ce théorème de meilleure approximation pour la minimisation d’une intégrale…. et dans le cadre matriciel cf. Banque CCINP ex. 80, 81 et 82.
- Exercice de la Planche-T4: seuls les ex. 4,5,6,7 sont « exigibles ».
Programme de colles de maths sem. 15
Semaine 15: du lundi 16 janvier
Thème : compacité, connexité par arcs et révisions de topologies des e.v.n.
On restera d’abord proche du cours avec des QdC ou de révisions (avec les exercices de la banque CCINP ci-dessous).
Pour les plus à l’aise, on pourra s’essayer à des exercices y compris reliés à l’algèbre linéaire… (revoir dans ce cas les exercices de la planche T2 sur la topo. matricielle).
Questions de cours possibles :
- Montrer le théorème de Bolzano-Weierstrass (B.W.) dans C en admettant le résultat dans R.
- Montrer qu’un compact de E est fermé borné dans E.
- Montrer qu’un fermé dans un compact est compact.
- Donner un exemple de fermé borné non compact (aussi exercice 13 banque CCINP sur ce sujet mais penser au cadre préhilbertien aussi).
- Montrer que l’image continue d’un compact est compacte.
- Théorème des bornes atteintes pour les fonctions d’un compact dans R.
- B.W. en dim. finie : les compact d’un e.v.n. de dim. finie sont les fermés bornés.
- Montrer qu’un s.e.v. de dim. finie est toujours fermé dans tout e.v.n.
- Parties connexes par arc (c.p.a.) de R?
- Image continue d’un c.p.a.
- Connexité par arc pour montrer qu’une fonction d’un intervalle I de R dans R continue injective est strictement monotone.
Les exercices sur la compacité de la Planche-T3, ont tous été traités mais certains sont difficiles.
Par contre l’exercice sur les fonctions coercives doit être bien compris et adapté à des situations simples, y compris éventuellement en variable réelle. De même les questions de distances à un sous-ensemble, à un compact …
Révisions sur les e.v.n. : exercices sur les e.v.n. de la banque CCINP. Ex 13, 34, 35, 36, 37, 38, 44, 45.
Planches : Planche-T3, Planche-T2
Motivation pour l’existence de min…
La compacité donne via le théorème des bornes atteintes l’existence de min et de max… à titre d’illustration de l’importance de ce résultat théorique, on peut l’entrevoir à la fin (4min 30) de ce joli exposé très élémentaire de Rozenn Texier.
Riesz : non compacité des boules en dim. infinie
A la demande de Théo, voici des indications assez précises pour montrer ce résultat… si cela intéresse quelques personnes parmi vous.
Solution DM 9 et 10 :
Elles sont en ligne sur la page DM et ici : DM10-2022-2023-sol
Solution pour le DS 4 polylogarithmes
Bonjour,
voici une solution du DS 4, sujet CCINP PC 2012.
Bon dimanche,
rb
Programme de colles semaine 14 :
Semaine 14 : du lundi 9 janvier
Structure de la colle : une question de cours qui peut être très rapide sur la dénombrabilité et un exercice plus important sur les intégrales à paramètres.
Cours et planche sur la dénombrabilité :
- Montrer que tout ensemble infini contient un sous-ensemble dnb,
- Montrer que toute partie de N est finie ou dnb, et donc aussi toute partie d’un ensemble dnb est dnb
- Montrer que NxN est dnb et pourquoi le produit de deux ensembles dnb est dnb
- Pourquoi Q est-il dnb?
- Une union dnb d’ensembles dnb est dnb
- Un produit fini d’ensemble dnb est dnb (réc. immédiate non demandée) contre-exemple pour un produit infini, construction diagonale de Cantor.
- Déf du développement décimal ou dyadique propre de R, application à la non dnb.
Un exercice « inconnu » sur les intégrales à paramètres :
voici les exercices des deux planches qui ont tous été traités Planche-I3 Planche-I3-P0 (sauf l’ex. sur la convolution qui est quasi immédiat).
Ex 17 planche S3
J’ai reçu une assez bonne rédaction de Théo sur cet exercice pas facile en Cesaro-style ! La voici suivi d’une rédaction que j’ai tapée pour vous et du fichier complet des exercices qui manquaient sur cette planche.
Solution du début du TP 4 SQL
Voici pour les 10 premières requêtes, que vous avez faites pour la plupart, mais pour vous permettre d’être à jour pour finir ce TP mardi prochain.
Vous retrouverez ce fichier sur la page Informatique deuxième année.
Noter que la solution de la requête 10 donne la méthode du EXCEPT, qui est identique pour les deux suivantes, pour vous entraîner.
Si vous avez fini tout le TP vous êtes déjà presque une experte ou un expert en SQL bravo, mais on s’entraînera encore un peu.
Bon bout d’an
rb
joffremp2 