Auteur : romainbondil

Colles de maths semaine 5 : lundi 13/10

:

  • Cette semaine, tout sur la diagonalisation, les polynômes caractéristiques, Cayley-Hamilton et bien sûr tout le programme précédent. Pas de trigonalisation encore cette semaine, merci.
    Nous avons fait beaucoup d’exercices : tous ceux de la Planche-R2-2025-2026
    ont été travaillés et corrigés en classe sauf les 7,8,9,  et peuvent être reposés en colle.
    Penser aussi aux exercices de la banque CCINP marqués en début de planche R2 et questions suivantes :
  • Calcul du polynôme caractéristique d’une matrice compagnon
  • Comparaison entre le polynôme caractéristique d’un endomorphisme et celui de sa restriction à un s.e.v. stable
  •  Justifier que la multiplicité géométrique d’une v.p. est inférieure ou égale à sa multiplicité algébrique.
  • Caractérisation de la diagonalisabilité de L avec chi_L scindé ET multiplicité algébriques des v.p. égale multiplicité géométrique.

Pour les élèves  : pour les exercices de la banque CCINP, on y rencontre le théorème qui dit qu’une matrice symétrique réelle est toujours dz dans M_n(R), que nous n’avons pas encore fait dans ce cours et qui sera traité au moment de la réduction des endomorphismes d’un e.v. euclidien.

Colles de maths sem 4 : lundi 6/10

Début de l’étude de la réduction des endomorphismes et de la  diagonalisation.

  • Révisions sur les formules de changement de base, pour les vecteurs et les applications linéaires.
  • valeurs propres, vecteurs propres : recherche à l’aide de l’équation aux valeurs propres sur des exemples en dim. finie ou infinie.
  • caractérisation : lambda v.p. d’une matrice A ssi det(A-lambda I)=0, application aux v.p. des matrices de petites tailles et des matrices triangulaires
  • Démonstration du fait que des s.e.v. propres associés à des v.p. distinctes sont en somme directe
  • Si lambda est v.p. d’un endomorphisme L et si P est un polynôme alors P(lambda) est v.p. de P(L). Conséquence si P est annulateur de L, Sp(L) est inclus dans Z(P).
  • Les v.p. de L sont exactement les racines du polynôme minimal de L.
  • Théorème de décomposition des noyaux : démonstration pour un produit de deux polynômes. On sera spécialement attentif à la bonne compréhension des objets manipulés (P(L)(x) et pas P(L(x)) et (PQ)(L)=P(L)o Q(L) etc…)
  • Savoir donner le maximum de caractérisations d’une matrice diagonalisable et la C.S. « n v.p. distinctes en dim. n  » mais en fait retenir surtout et pour chaque exercice  qu’il y a d’un côté le point de vue géométrique (avec les vecteurs propres et les sev propres)  et de l’autre côté  le point de vue algébrique (avec les polynômes annulateurs, le minimal) .
  • Montrer que si f est dz, alors l’endomorphisme f_F induit par f sur un s.e.v. stable F est encore dz.

Pour les colleurs : ON NE PRONONCE PAS LE MOT  POLYNÔME CARACTERISTIQUE  CETTE SEMAiNE ET de condition de diagonalisabilité avec celui-ci.  Planche-R1-2025-2026 Ex 1 à 9 (sauf 3) et 13 à 16 

Colles de maths sem 3 : lundi 29/09

Semaine 3, du lundi 29 septembre :

révisions et compléments d’algèbre commutative.

La motivation principale  de cette semaine est d’introduire les idéaux des anneaux de polynômes pour la définition du polynôme annulateur d’une matrice ou d’un endomorphisme. Mais cela étant, c’est aussi l’occasion de voir et revoir un certain nombre de notions sur l’algèbre commutative, l’arithmétique et les polynômes.  Il est important de vérifier que les différentes structures (groupes, anneaux, corps, algèbres et donc idéaux) sont bien connues. On pourra donc commencer  la colle par un exercice rapide de vérification de ces définitions.

Pas de résultat sur les groupes cette semaine, le cadre est celui de l’algèbre commutative.

Pour le cours :

  • Qu’est-ce qu’un anneau, qu’est-ce corps ? Montrer que Z/nZ est un corps ssi Z/nZ  est intègre ssi n est un nombre premier.
  • Plus généralement : pour a dans Z, montrer que la classe de a est inversible dans l’anneau Z/nZ ssi a et n sont premiers entre eux
  •  savoir définir ce qu’est  un idéal et savoir la forme des idéaux de K[X] et de Z (démonstration faite dans  K[X] à connaître).
  • Définir le polynôme minimal d’un matrice (resp. d’un endomorphisme d’un e.v. de dim. finie) et savoir pourquoi tout polynôme annulateur est un multiple du  polynôme minimal.
  • Expliciter  le polynôme minimal d’une matrice diagonale.
  • Montrer que dim K[A]=deg(mu_A).
  • Montrer que si A est une matrice inversible alors A^{-1} est dans K[A].
  • Montrer que si A est une matrice et P est un polynôme alors P(A) est une matrice inversible ssi P est premier avec le polynôme minimal de A.

Pour les exercices supplémentaires  surtout des révisions de première année notamment sur les polynômes, les nombres complexes, ou très élémentaires d’arithmétique. 

Les exercices de la banque CCINP proposés  en haut de la planche couvrent une partie de ce programme de révision (racines de l’unité, polynômes de Lagrange, formule de Taylor pour les polynômes).

Planche-A2-2025-2026 (ex. traités 1 à 5 et 7 à 11 au moins….)

Colles de maths sem 2 : lundi 22 /09

 Révisions d’algèbre  linéaire

Le cours de 2ème année d’algèbre linéaire (hors réduction à venir) n’apporte que très peu de compléments. Les voici comme question de cours :

  • Somme directe de plusieurs s.e.v.: définition par l’unicité de l’écriture, différentes caractérisation, notamment avec l’isomorphisme avec le produit direct, la caractérisation par les sommes nulles, et en dimension finie, avec les bases et la dimension.
  • Matrices par blocs : produits, opérations élémentaires sur les blocs, formule du déterminant d’une matrice triangulaire par bloc (deux démonstrations faites, en donner une au choix). Les exercices consistent souvent à se ramener à cette forme triangulaire par bloc par opération ou multiplication par des matrices codant les opérations qu’on veut faire….
  •  Question de révision (non faite en classe) : calcul du déterminant de Vandermonde. D’une manière générale, bien réviser le cours de 1ère année sur les déterminants : un calcul de déterminant inconnu (par bloc ou pas) sera aussi bienvenu.`

La semaine a donc été consacrée a de très nombreux exercices sur la Planche-A1-2025-2026

Cette planche a été faite à peu près entièrement, on pourra donc aussi interroger sur ces exercices comme « Question de cours« . (L’ex. 5  plus difficile  a fait un peu peur; donc non exigible). Exercices non traités en classe : 6, 9,  14 et à partir du 26.

La nouvelle Banque CCINP et les ex de la semaine

Rebonjour

voici la version 2026 de la banque CCINP, vous la retrouverez toute l’année sur la page Pratique.

banque finale avec corr session 2026

banque finale sans corr session 2026

Par ailleurs pour les colles de cette semaine les exercices de la banque sont seulement le 5,6,7 et le début du 8. Je corrige sur le programme de colle.