Auteur : romainbondil

Programme de colle semaine 19

Semaine 19 : du lundi 13 février.

Thème : probabilités, variables aléatoires discrètes (v.a.d.) (début).

D’abord un chapitre général sur univers-tribu-probabilités, avec quelques questions de cours importantes :

  • Définir ce qu’est une tribu et exemples simples sur la planche P1.
  • Qu’est-ce qu’une probabilité ? Démontrer la propriété de continuité croissante.
  • Démontrer la sous-additivité dénombrable des probabilités.
  • Donner des propriétés de l’espace probabilisé  décrivant le jeu à pile ou face infini (où  l’existence de la proba est bien sûr admise)  : quelle tribu, comment montrer que la probabilité des singletons  est nulle.
  • Dans l’exemple précédent donner un exemple de système quasi-complet d’événements (qui n’est pas « complet »).
  • Evénement  « A_n est  réalisé infiniment souvent »  décrit avec inter et union, premier lemme de Borel-Cantelli (exercice Planche-P1)

Chapitre sur les variables aléatoires discrètes:

  • Définition d’une v.a.d. : savoir vérifier les conditions de la déf. d’une v.a.d : exemple du temps d’attente de succès dans une suite de tirages de Bernoulli (v.a.d. de loi géométrique).
  • Caractérisation des v.a. géométriques par le caractère « sans-mémoire »
  • Convergence en loi de v.a. suivant B(n,lambda/n) vers P(lambda)
  • Indépendance des v.a.d. : déf. équivalentes (dém. non demandée).
  • Espérance des v.a. géométriques et de Poisson.
  • Propriété de l’espérance : formule de transfert, linéarité.
  • Calcul de l’espérance à l’aide des P¨(X>x).

Toute la planche P1 a été traitée. Planche-P1  Après ces QdC plus « théoriques », poser plutôt un exercice « concret » éventuellement de révision de première année comme les exercices de la fin de la planche P.1  et des exercices très simples sur les v.a.d.

La Planche-P2 sera travaillée en début de semaine.

DM 13 II A 2) et fin…

Une petite précision pour ce D.M. 13  : la première partie (à part sa dernière question spécifique à ce pb) est très classique, (et donc importante)  elle présente ce qu’on appelle les valeurs singulières d’un endomorphisme a (les v.p. de a¨*a), et la décomposition polaire de a (cf. planche de complément sur les décompositions matricielles).

En revanche la partie II est centrée sur la dim. 3 qui est visiblement passée de mode dans les programmes (dans lesquels il est marqué que la reconnaissance des éléments géométriques d’un élément de SO_3(R) n’est pas un attendu du programme). Je me disais au départ que c’était bien de manipuler une fois ces rotations pour de vrai, mais là c’est vrai que c’est très technique  dans le problème et sûrement du coup un investissement peu  intéressant pour les concours

. Pour la question II A2), il suffit de penser (c’était dans le cours avant) que : Capture d’écran 2023-02-06 à 17.01.33

J’aimerais bien que cela soit évident avec un dessin.

De même pour le II  A3) omega_k est un endomorphisme antisymétrique, comme je vous l’ai raconté en classe. La suite du DM à partir du II B devient vraiment trop technique… faites plutôt des proba 🙂

Nouvelle version du colloscope (français et colle physique Franco)

Voici une version modifiée du colloscope où les colles de français sont avancées d’une semaine pour les groupes 8 à 12 et celle du trinôme 7 est mise en semaine 23.

La colle de physique de M. Franco change de jour et d’horaire : 16h 15 le jeudi.

Bon début de semaine à vous,

rb

colloscope-mp2-2022-v7-3Télécharger

Programme de colles semaine 18 :

Semaine 18 : du lundi 6 février

Thème  : endomorphismes d’un espace euclidien. Révision du programme précédent avec en plus la réduction des autoadjoints. La notion d’autoadjoint positif et défini positif est revenue au programme. Le nouveau cours est bref mais demande beaucoup de précision (nombreuses confusions possibles sur le sens du mot positif ou celui du mot « symétrique »).

  • Pour f autoadjoint, définir la forme bilinéaire symétrique associée à f (à savoir (x,y)-> (f(x)|y)), et la forme quadratique associée x->(f(x)|x). Chacun de ces trois objets détermine les autres : pourquoi ? (Formule de polarisation).
  • Démontrer qu’un endomorphisme autoadjoint admet au moins une valeur propre (en se ramenant à la dim. 2).
  • En admettant le résultat précédent, démontrer le théorème spectral pour les autoadjoints.
  • Ecriture de la forme quadratique (mot H.P.) x-> (f(x)|x) dans une b.o.n. de dz. de f, application à une caractérisation de la plus grande et de la plus petite v.p. de f.
  • Définition des autoadjoints positifs (resp. matrices symétriques positives) et caractérisation par le spectre.
  • Déf. des autoadjoints définis positifs, caractérisation par le spectre, lien avec la notion de produit scalaire.
  • Tous les exercices de la planche ont été traités sauf le 17 : Planche-R4

Pour bien ré-ancrer les habitudes liées à la réduction des endomorphismes, bien utiles ici aussi, on pourra revoir et être interrogés sur :

  • Les exercices 10, 11, 12 de la Planche-R2
  • Les exercices 4 à 8 et l’ex. 11 de la Planche-R3
  • Ne pas négliger les calculs concrets : banque CCINP Ex. 68, et toujours des projections orthogonales (décidément mal comprises) CCINP Ex. 81,82, et des calculs de matrices de projections…

Bonne semaine, pendant ce temps, le cours de proba aura, j’espère,  le temps d’avancer suffisamment !

Colles semaine 17 :

Semaine 17 : du lundi 30 janvier

Thème : endomorphismes d’un espace euclidien : début, attention pas de théorème de réduction des endomorphisme autoadjoint (resp. matrices symétriques) cette semaine.

Questions de cours :

  • Définition de l’adjoint d’un endomorphisme et prop. de l’application u-> u*
  • Si F est un s.e.v. stable par u, alors l’orthogonal de F est stable par u*
  • La matrice de u* dans une b.o.n. est la transposée de celle de u
  • Déf.  des isométries vectorielles et caractérisation par la conservation du produit scalaire et par f*=f^{-1}
  • Caractérisation matricielle des isométries vectorielles et déf. des matrices orthogonale.
  • Déterminant d’une matrice orthogonale. Donner une matrice de déterminant 1 non orthogonale.
  • Une matrice orthogonale symétrique est une matrice de symétrie orthogonale.
  • Thme de classification des matrices dans O_2(R).
  • Thme de classification de toutes les isométries vectorielles : énoncé, étapes de la preuve.

On l’aura compris les héros de cette semaine sont l’adjoint et les automorphismes orthogonaux (=isométries vectorielles). Ne pas négliger aussi les normes d’opérateur comme vu sur la planche.  Les autoadjoints viendront la semaine prochaine. Sur la Planche-R4 les exercices 1 à 8 ont été faits en classe.

Banque CCINP Ex. 78 : intégralement dans le cours.