Auteur : romainbondil

Semaine 23 : du lundi 27 mars

Attention : dernière semaine de colles avant les écrits.

Thème : calcul différentiel, révision du programme précédent et les rajouts qui suivent. Par ailleurs, on peut aussi poser des questions de révisions sur les endomorphismes d’un espace euclidien.

Calcul diff.  on rajoute :

• • Exemple de recherches  d’extrema sous-contrainte i.e. pour f_|X
    • théorème dans le cas où X est une hypersurface.
    • études pratiques dans le cas où on peut paramétrer X
  • Calcul différentiel d’ordre 2 :
    • fonctions C^2, C^k, théorème de Schwarz (admis)
    • Calcul de la dérivée seconde de t->f(a+tx)
    • Définition de la Hessienne d’une fonction f : U -> R, expliquer pourquoi c’est aussi la jacobienne du gradient de f.
    • Savoir citer le théorème de Taylor-Young à l’ordre 2 (admis)
    • C.N. de min. local : point critique a tel que Hf(a) soit symétrique positive (savoir dém).
    • C.S. de min. local : point critique a tel que Hf(a) soit définie positive. (savoir dém.)
    • Pratique en dim. 2 avec det(Hf(a)) et Tr(Hf(a)).
    • Exemple où Hf(a) est dégénérée (0 v.p.) en exercice.
  • E.D.P. d’ordre 1 et 2 :
    • savoir justement proprement la « primitivation par rapport à une variable » (convexité par rapport à la variable).
    •  Exemples de résolution par changement de variable.
  • Tous les exercices de la Banque CCINP cité en haut de planche.
  • Toutes les exercices de la planche de 1 à  18  auront été traités, (peut-être plus), la suite lundi.
  • Planche-F2

Semaine 22 : du lundi 20 mars.

Thème : calcul différentiel d’ordre 1

Pour cette première semaine, l’objectif est essentiellement de savoir dériver et comprendre les objets présents dans les formules.

La connaissance du cours est essentielle.

• Définition de la dérivée D_v f(a) de la fonction f selon le vecteur v au point a et lien avec les dérivées partielles, cas où f est une norme N et a=0 ?
• Savoir qu’il existe des fonctions f telles que D_v f(a) existe pour tout v et qui ne sont pourtant pas continue en a (exemple sur la planche ou en cours).
• Définition de la différentiabilité : existence d’un D.L. 1, définition du gradient pour les fonctions à valeurs scalaires.
• Faire BEAUCOUP de calculs de différentielles (de gradient) avec des D.L. 1 comme ceux de la planche ex 5,6,7.
• Déf. des fonctions de classe C^1 : l’application x-> df(x) est continue, mais surtout caractérisation miraculeuse avec les dérivées partielles
• Exercices concrets où l’on utilise le point précédent (cf. planche et banque CCINP).
• Formule sur la différentielle d’une composée d(f o g)=,  deux cas particuliers très utiles si l’espace intermédiaire est R et surtout si l’espace de départ est R (dérivée selon une courbe à savoir par coeur !)
• Formule d’intégration le long d’un chemin. Application si df=0 sur un ouvert c.p.a. alors f est constante.
• C.N. d’extremum local en un point d’un ouvert : point critique.
• Vecteur tangent en un point x  à un sous-ensemble Xde R^n : définition, exemples, structure de cône de l’ensemble T_x X de ces vecteurs.
• Exemple si X est une sphère (savoir refaire) dans R^n.
• Cas général d’un point régulier  x d’une hypersurface g=0 : T_x X=ker dg(x).

Banque CCINP pour cette semaine : ex 33,52, 57, 58.

Planche : les exercices exigibles pour lundi sont les ex 1 à 6. Ceux qui correspondent au programme de la semaine sont les ex. 1 à 12.

Planche-F2

Semaine 21 : du lundi 13 mars.

Thème principal  : fonctions d’une variable réelle à valeurs vectorielles.

Un cours où on apprend quand même quelques petites choses sur la dérivation..  avant le calcul diff qui entrera dans le vif du sujet.

Questions de cours :

• Trois définitions équivalentes de la dérivabilité pour f : I -> E (dém. non demandée)
• Dérivée de L o f si f est dérivable de I dans E et L est linéaire de E dans F (dém.)
• Dérivée de B(f,g) si f (resp. g) sont dérivables de I dans E  (resp. dans F) et B : E x F-> G est bilinéaire (dém.)
• Extension du point précédent aux applications n-linéaires (typiquement déterminant) dém. non demandée.
• T.A.F. généralisé à deux fonctions  » f'(c) (g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a)) » démonstration vectorielle
• Dérivation de t-> exp(tA) par théorème de dérivation terme à terme à valeurs vectorielles
• Inégalité triangulaire pour les intégrales de fonctions vectorielles et application à l’I.A.F. dans l’hypothèse C^1.
• Formules de Taylor à savoir parfaitement.

La Planche-F1 a été traitée en classe sauf les deux  derniers exercices qui le seront lundi.  On pourra aussi bien sûr aussi poser des exercices de révisions de première année sur la dérivation et le caractère C^k/D^k des fonctions à valeurs réelles.

Par exemple l’équivalence D^1 <-> admet un D.L. 1, le contre-exemple pour DL_2 n’entraîne pas D^2 ont été revus…, hypothèses de Taylor-Young etc…. et des exemples d’utilisations des formules de Taylor globales seront bienvenus.

Elle se trouve sur la page Informatique 2ème année. J’ai rajouté des variantes de méthode.

Je vous recommande vivement de retravailler ce DS au moins les partie 1 et 3 pour tous.

Semaine 20 : du lundi 6 mars.

Thème : probabilité (tout !).

Les colles commenceront par un exercice de la Banque CCINP (num. 95 à 112) ce qui, pour les élèves, fait un exercice de proba à travailler par jour pendant les vacances ! On attend de l’efficacité sur ces exercices, qui ne doivent pas, malgré leur longueur, occuper toute la colle.

Tout le programme précédent est encore exigible, et on rajoute les points suivants :

• Moments d’ordre r d’une v.a.d. : si X admet un moment d’ordre r alors X admet un moment d’ordre s pour tout s<r.
• Calculs des variances des lois usuelles et notamment géométriques et Poisson et cas de loi binomiale comme sommes de v.a. indépendantes
• Covariance, application à la variance d’une somme
• Deux inégalités de Cauchy-Schwarz dans le contexte probabiliste, l’une avec la Covariance, l’une avec (X,Y)->E(XY)
• Série et fonction génératrice :  deux définitions. La série génératrice détermine la loi
• Fonction génératrice d’une somme de v.a.d. indépendantes application à la loi binomiale, à la somme de deux v.a. de Poisson indépendantes
• Calcul de l’espérance (resp. de E(X^2)) en dérivant la fonction génératrice
• Inégalité de Markov et de Tchebychev, application de la méthode du 1er moment ou 2ème moment pour l’étude de P(X=0).
• Loi faible des grands nombres: énoncé et démonstration.

La Planche-P2 a été traitée entièrement sauf les exercices 10 et 11;

La Planche-P3 n’a été que peu traitée (ex 8-9 fait en TD) mais est un bon programme de travail pour les vacances, avec des exercices plus orientés sur les problèmes d’écrits.

Bonjour,

Arthur m’a fait justement remarqué qu’il manquait la dernière annexe du sujet dans le pdf du sujet de ce DM. Voici un fichier complet : DM3-ITC-2022-2023

bon courage

rb

A première vue sur vos DS, il y a des confusions entre listes et dictionnaires…

• Si L=[], on ne peut pas ensuite poser L[0]= »truc » alors qu’on peut le faire pour un dictionnaire.
• Si D={« france »: [1,2,4], « angleterre » : [2,1,3]}, alors D[0] n’a aucun sens ! Si on veut parcourir un dictionnaire, on le parcourt sur les valeurs des clefs :  for element in D  et pas « for i in range(len(D)) « 

Savoir construire une liste correctement est fondamental…  voici un sujet où on ne manipule que des listes (les dictionnaires n’étaient pas au programme).

Il contient aussi les commandes de  manipulations de fichiers qui sont au programme et que vous devez donc connaître même si on est censé vous les redonner…

Pour ce qui est de la méthode d’Euler, cela vous fait un entraînement pour ce qui sera maintenant dans les sujets de physique.

DM3-ITC-2022-202

Je vous conseille par ailleurs de reprendre les exercices que nous avons fait sur les dictionnaires ce ne sera pas du luxe.TP1-Dictionnaires

Avec une petite modification à l’entrée (3,2) de la matrice A’, l’écart à la Q3 devient beaucoup plus gros… j’ai modifié l’énoncé et le corrigé en ce sens !

DM12-2022-2023

DM12-2022-2023-sol