Réduction des endomorphismes, début
Questions de cours :
-révision sur la classification des matrices pour la relation « d’équivalence »
-déf. des valeurs propres (deux déf. équivalentes), vecteurs propres, sev propre
-prop : les sev propres associés à des vp distinctes sont en somme directe (dém).
-Déf d’un endomorphisme diagonalisable : plusieurs formulations équivalentes
-Si L admet n v.p. distinctes dans un espace de dim. n alors L est dz (dém)
-Si v est un vecteur propre de l’endomorphisme L pour la v.p. lambda, alors c’est aussi un vecteur propre de P(L) pour la v.p. P(lambda) (dém) corollaire : si P annule L alors Sp(L) est inclus dans Z(P).
-Théorème (précise le résultat précédent) : Sp(L)=Z(mu_L) (dém).
-Théorème des noyaux (dém bonus en première semaine, sera exigible en seconde semaine).
-La restriction d’un endo. dz a un sev stable est dz.
Pour la diagonalisation pratique :
– sur une matrice simple on peut chercher les v.p. à l’aide de la condition det(A-lambda I)=0 (mais ce n’est pas forcément la meilleure méthode).
– sur les autres exemples vus on étudie l’équation aux v.p. : on cherche les lambda pour lesquels il existe un v non nul tel que f(v)=lambda v
– un autre point de vue est la recherche d’un polynôme annulateur.
Nous avons déjà fait pas mal d’exercices : pl. R1 ex 1,2,3, 7,8, 9 à 16 (mais le 16 long n’est pas exigible) et 20 à 23 sur les polynômes annulateurs.
Pas d’exercice de la banque CCINP cette semaine.
bonne semaine
rb
