Le cours contient les notions suivantes :
- dérivée partielles
- dérivée selon un vecteur (lien avec les dérivées partielles) notation D_v f(a)
- D.L 1 et différentiabilité : notation df(a).(v) ou df(a).v
- Une fonction différentiable en a est continue en a et admet en a une dérivée suivant tout vecteur (démo)
- Beaucoup d’exemples de calculs de différentielle par D.L. 1 : cf planche Ex 4, 5.
- Fonction de classe C^1 : déf abstraite avec la continuité de df, équivalence admise de cette déf avec le fait que les dérivées partielles existent et sont continues.
- Beaucoup d’exercices où on montre ce caractère C^1 y compris pour prouver la différentiabilité (sans DL1 du coup) (cf ex 2 ,3 planche)
- Calculs de la différentielle d’un produit exercice sur les quotient
- exercice sur la différentielle de M->M^{-1} sur GL_n(R). (deux méthodes)
- Différentielle d’une composée : formule générale
- Cas particulier important de (f o c)'(t)=df(c(t)).(c'(t)) pour une courbe. Application à de nombreux exercices où on se ramène ainsi à une variable cf planche ex 6,7 et
- Version en coordonnées ; produit des jacobiennes et règle de la chaîne
- théorème caractérisant les fonctions constantes sur un ouvert connexe par arcs
- Calcul à l’ordre 2 : déf du caractère C^2 avec les dérivées partielles et thme de Schwarz
- Déf de la matrice Hessienne et Taylor Young à l’ordre 2 (énoncé sans dém)
- C.N. de min local en un point d’un ouvert ; pt critique où la hessienne est sym. positive (démo !)
- C.S. de min local en un point d’un ouvert ; pt critique où la hessienne est sym. déf positive (démo !)
- Exemples d’équations aux dérivées partielles et de changement de variables (et de fonctions inconnues)
- Vecteurs tangents à une partie d’un evn : l’ensemble T_a X des vecteurs tangents à a à X est un cône vectoriel
- Théorème admis : en un point régulier a d’une hypersurface d’équation g=0, l’ensemble T_a X est l’hyperplan noyau de dg(a), autrement dit l’orthogonal du gradient en a (Savoir démontrer l’inclusion facile)
- Théorème d’optimisation sous contrainte : avec les mêmes hypothèse que dans l’énoncé précédente si f : X -> R admet un extremum en a alors le gradient de f en a est proportionnel au gradient de g en a.
Nous avons fait beaucoup d’exercices : toute la planche D3 Planche-D3-2025-2026 sauf ex 9, 16, 17,18, 20 (certains seront repris en début de semaine). Outre l’importance de vérifier les calculs de différentielles, on s’attachera à l’étude des extremum aussi bien sur les ouverts que sur les ensembles à bords (ex 19 banque CCINP ex 56) ou sur les hypersurfaces (CCINP ex 41) qui a fait l’objet d’une attention toute particulière.
C’est la dernière colle avant les écrits !
Merci aux personnes ayant assuré les colles !
Rendez vous ensuite pour la préparations aux oraux
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