Semaine 18 du lundi 9 Février: compacité, connexité et toujours les endomorphismes d’un espace euclidien
Sur la topologie, surtout des questions de cours ou proches du cours :
- Montrer le théorème de Bolzano-Weierstrass (B.W.) dans C en admettant le résultat dans R.
- Montrer qu’un compact de E est fermé borné dans E.
- Montrer qu’un fermé dans un compact est compact.
- Donner un exemple de fermé borné non compact (aussi exercice 13 banque CCINP sur ce sujet mais penser au cadre préhilbertien aussi).
- Montrer que l’image continue d’un compact est compacte.
- Théorème des bornes atteintes pour les fonctions d’un compact dans R.
- B.W. en dim. finie : les compact d’un e.v.n. de dim. finie sont les fermés bornés.
- Parties connexes par arc (c.p.a.) de R?
- Image continue d’un c.p.a.
- Exercice 16 de la pl T4 : démonstration du théorème de Darboux via la connexité par arcs.
Sur la planche de topo : Planche-T4-2025-2026 nous avons traité les ex 1 à 5 et 13 à 16 pour l’instant.
Ensuite si possible s’il reste du temps un exercice sur les endomorphismes d’un espace euclidien.
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