Equations différentielles linéaires.
Sur la théorie :
- Justifier que pour X'(t)=A.X(t) avec A matrice indép. de t, les solutions sont les fonctions t->e^{tA} C.
- Généralisation du point précédent : forme des solutions pour X'(t)=A.X(t)+B(t) avec une intégrale.
- Enoncé précis du théorème de Cauchy Lipschitz linéaire pour les systèmes X'(t)=A(t)X(t)+B(t), conséquences pour la structure de l’ensemble des solutions dans les cas homogène et non homogène.
- Traduction du théorème dans le cas des EDL scalaires d’ordre n (vectorialisation).
- Définition du Wronskien de deux solutions d’une EDL scalaire d’ordre 2, et E.D. vérifiée par celui-ci
- Méthode de variations des constantes seulement dans le cas d’ordre au plus 2.
Pour les exercices, le premier objectif à notre niveau est la maîtrise des techniques de calculs. Il serait donc souhaitable de traiter une question « calculatoire » d’un des type suivant :
- Résolution d’un système linéaire X'(t)=A.X(t) avec A matrice constante 2×2 ou 3×3:
- Cas où A est diagonalisable dans R
- Cas où A est diagonalisable dans C et qu’on veut des solutions réelles
- Cas où A est seulement trigonalisable : on a donné deux méthodes
- la méthode d’une simple trigonalisation suivie d’une résolution « de bas en haut » par substitution,
- le calcul de exp(tT) dans le cas simple où T=lambda I+ N autrement dit T n’a qu’une seule v.p. (ceci se généralise par bloc avec les sev caractéristiques mais on n’a pas traité d’autres exemples).
- Résolution d’équations différentielles linéaires scalaires d’ordre deux :
- Méthodes de première année : déjà révisées la semaine dernière, toujours d’actualité
- Méthode de la variation Des constantes pour les ED d’ordre deux : à bien maîtriser.
- Quand on ne connaît pas de solutions de l’équation homogène : exemple de recherche des solutions D.S.E. (pratique à bien maîtriser !)
- Quand on connaît une solution de l’équation homogène et qu’on en vu une autre indépendante, technique de la réduction de l’ordre par variation de la constante.
Sur la Planche-D2-2025-2026, on a traité en classe les exercices calculatoire de 1 à 6. Pour toutes ces techniques les élèves trouveront à s’exercer aussi avec les exercices de la banque CCINP marqués en haut de planche.
En début de semaine, on traitera aussi de méthodes qualitatives, donc pour les colles de mercredi et jeudi les élèves seront plus à même de traiter aussi des exercices un peu plus qualitatifs.
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