Semaine 15, lundi 19 janvier 2026 : dérivation et intégration des fonctions d’une variable réelle, à valeurs vectorielles ET révisions sur les équations différentielles.
Nous avons traités les exercices 1 à 5 et 8 à 15 sauf les 10 et 14 de la Planche-D1-2025-2026 jointe, ce qui donne une idée assez précise du programme de la semaine
Dans l’idéal on pourra essayer d’aborder les deux thématiques avec deux exercices (dont l’un forcément plus court, qui peut être une Question de Cours !), les voici détaillées :
- la dérivation et l’intégration des fonctions d’une variable réelle à valeurs vectorielles, questions de cours possibles
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- Trois définitions équivalentes de la dérivabilité pour f : I -> E (dém. non demandée)
- Dérivée de L o f si f est dérivable de I dans E et L est linéaire de E dans F (dém.)
- Dérivée de B(f,g) si f (resp. g) sont dérivables de I dans E (resp. dans F) et B : E x F-> G est bilinéaire (dém.)
- Extension du point précédent aux applications n-linéaires (typiquement déterminant) (pas de dém. juste la formule)
- T.A.F. généralisé à deux fonctions » f'(c) (g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a)) » démonstration vectorielle
- Dérivation de t-> exp(tA) par théorème de dérivation terme à terme à valeurs vectorielles (dém non détaillée mais à travailler !).
- Inégalité triangulaire pour les intégrales de fonctions vectorielles (démonstration avec les sommes de Riemann) et application à l’I.A.F. dans l’hypothèse C^1.
- Pourquoi le théorème de Rolle (et donc l’égalité des A.F.) sont ils faux dans le cas des fonctions à valeurs vectorielles non scalaires?
- Formules de Taylor à savoir parfaitement : DU SOIN POUR l’énoncé des théorèmes ! Pas juste la formule mais hypothèses de régularités précises.
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- Les révisions sur les équations différentielles de première année :
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- résolution concrète d’E.D.linéaires du premier ordre avec la méthode de variation de la constante : les exercices 8,9,10 abordent les problèmes de raccords pour les équations différentielles singulières, c’est l’occasion aussi de révision sur les développement limités pour les raccords et bien sûr des calculs de primitives !
- des exercices plus théoriques sur le 1er ordre où l’on voit que la M.V.C. permet une écriture plus abstraite des solutions, qui aboutit à des propriétés précises de ces solutions.
- enfin des EDL du second ordre à coefficient constant avec second membres gentils : polynôme x exponentielle x cos ou sin. On a révisé les cas de résonance où la solution particulière n’est pas de la même forme que le second membre car celui ci correspond déjà au régime libre.
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Bonne semaine !
rb
joffremp2 