Ouverts, fermés, continuité
Topologie des e.v. normés, avec comme QdC possibles :
- définitions et caractérisations de (au choix des personnes qui interrogent) ouvert, fermé, adhérences, intérieurs…
- Montrer qu’une boule ouverte est ouverte.
- Montrer que l’adhérence d’une boule ouverte est la boule fermée
- Exercice : Montrer qu’un s.e.v. strict est d’intérieur vide.
- Caractérisation séquentielle des points adhérents.
- Lien complémentaire de l’adhérence/intérieur du complémentaire (etc)
- Ouverts et fermés relatifs, déf. et caractérisation admise.
- déf. de la continuité en un point et caractérisation avec les voisinages.
- caractérisation globale de la continuité : une seule implication est au programme officiel: si f est continue de A dans F alors la préimage d’un ouvert de F est un ouvert de A (resp. avec fermé) : démo. non exigible, par contre : savoir bien la mettre en oeuvre pour montrer que tel ensemble est ouvert ou fermé.
- Savoir justifier qu’une application donnée est continue : théorème d’opération, continuité des formes coordonnées, et donc des fonctions polynomiales ou rationnelles.
- Définir ce qu’est un homéomorphisme et pourquoi l’image d’un ouvert par un homéo est un ouvert. Donner. un exemple de fonction continue bijective qui n’est pas un homéo.
- Sur la planche T2 : les exercices 1 à 14 sauf 7. Planche-T2-2025-2026.
Le paragraphe sur les applications linéaires continues et normes d’opérateurs n’a pas encore été vu.
Bonne semaine à tout le monde.
joffremp2 