Merci beaucoup aux collègues qui assurent ces colles, à bientôt pour les oraux blancs.
La connaissance du cours est essentielle, notamment la nature des objets (on peut se livrer à des décompositions grammaticales des formules : où vit chaque objet de la formule) mais pour rassurer les élèves, on peut dire qu’ici les exercices seront de trois ou quatre types (cf. la planche, Planche-D3, faite presque entièrement sauf ex 15)
– calculs de différentielles par D.L. ou autre (type ex. 5,6,7 pl)
– étude du caractère C^1 au voisinage d’un point à problème (type ex 1 à 4 pl).
– étude des extrema locaux avec le calcul diff à l’ordre deux (type ex 12 à 14 pl) complété éventuellement par des considération topologique ou de limite pour savoir si on a des extrema globaux .
– pour les plus à l’aise, exercice plus théoriques utilisant souvent la dérivation le long d’une courbe (un segment) (type ex 8,9, 10,..) mais pour tous la formule de dérivation le long d’un courbe non connue (comme celle plus générale de d(g of)) donnera lieu à un zéro en colle !
Pas de vecteurs tangents, d’extrema sous contrainte ou d’E.D.P. cette semaine (et donc choisir parmi les exercices de la banque CCINP cités sur la planche ceux qui n’utilisent pas ces notions à savoir 33, 52, 56 sauf la fin (même si…), 57, 58 et pas le 41).
Merci de bien respecter les notations du programme sur le sujet.
- Calcul différentiel d’ordre 1 :
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- Définition de la dérivée D_v f(a) de la fonction f selon le vecteur v au point a et lien avec les dérivées partielles, cas où f est une norme N et a=0 ?
- Savoir qu’il existe des fonctions f telles que D_v f(a) existe pour tout v et qui ne sont pourtant pas continue en a (exemple sur la planche ou en cours).
- Définition de la différentiabilité : existence d’un D.L. 1, notation df(a).h
- définition du gradient pour les fonctions à valeurs scalaires.
- Faire BEAUCOUP de calculs de différentielle (de gradient) avec des D.L. 1 comme ceux de la planche ex 5,6,7.
- Déf. des fonctions de classe C^1 : l’application x-> df(x) est continue, mais surtout caractérisation miraculeuse avec les dérivées partielles
- Exercices concrets où l’on utilise le point précédent (cf. planche et banque CCINP).
- Formule sur la différentielle d’une composée d(f o g)=, deux cas particuliers très utiles si l’espace intermédiaire est R et surtout si l’espace de départ est R (dérivée selon une courbe à savoir par coeur !)
- Formule d’intégration le long d’un chemin. Application si df=0 sur un ouvert c.p.a. alors f est constante.
- C.N. d’extremum local en un point d’un ouvert : point critique.
- Calcul différentiel d’ordre 2 :
- fonctions C^2, C^k, théorème de Schwarz (admis)
- Calcul de la dérivée seconde de t->f(a+tx)
- Définition de la Hessienne d’une fonction f : U -> R, expliquer pourquoi c’est aussi la jacobienne du gradient de f.
- Savoir citer le théorème de Taylor-Young à l’ordre 2 (admis)
- C.N. de min. local : point critique a tel que Hf(a) soit symétrique positive (savoir dém).
- C.S. de min. local : point critique a tel que Hf(a) soit définie positive. (dém non exigée mais faite).
- Beaucoup de Pratique en dim. 2 avec det(Hf(a)) et Tr(Hf(a)).
- Exemple où Hf(a) est dégénérée (0 v.p.) en exercice.
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