Semaine 17 du lundi 3 février : un programme « mélangé »
Dans l’idéal, la colle pourra comporter (peut-être avec le 2) avant le 1)
- Une question sur le programme précédent : endomorphismes d’un espace euclidien. La planche R4-bonus-decomp-matricielles suivante aura été traitée en partie.
- Une question sur la dénombrabilité OU la dérivation des fonctions d’une variable réelle à valeurs vectorielles, comme illustré par la planche ci-jointe :Planche-P0-D1, avec comme questions de cours possibles pour la partie Dérivation :
- Trois définitions équivalentes de la dérivabilité pour f : I -> E (dém. non demandée)
- Dérivée de L o f si f est dérivable de I dans E et L est linéaire de E dans F (dém.)
- Dérivée de B(f,g) si f (resp. g) sont dérivables de I dans E (resp. dans F) et B : E x F-> G est bilinéaire (dém.)
- Extension du point précédent aux applications n-linéaires (typiquement déterminant) (pas de dém. juste la formule)
- T.A.F. généralisé à deux fonctions » f'(c) (g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a)) » démonstration vectorielle
- Dérivation de t-> exp(tA) par théorème de dérivation terme à terme à valeurs vectorielles (dém)
- Inégalité triangulaire pour les intégrales de fonctions vectorielles et application à l’I.A.F. dans l’hypothèse C^1.
- Formules de Taylor à savoir parfaitement
Et pour la partie dénombrabilité :
- Cours: Montrer qu’une union finie ou dnb d’ensembles finis ou dnb est finie ou dnb
- Exercice (pour les motivé.e.s) : montrer que {0,1}^N (où N est l’ensemble des entiers naturels) n’est pas dénombrable à l’aide de la construction diagonale.
- Cours: Définir ce qu’on appelle le développement décimal (resp. dyadique) propre respectivement impropre d’un nombre réel dans [0,1[ (l’impropre n’existant que pour les nombres décimaux, resp. dyadiques).
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