Colles de maths semaine 23 : 2 avril 2024

Thème :  équations différentielles linéaires.

Bien connaître l’énoncé du Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire dans le cas vectoriel et son adaptation au cas scalaire.

Le premier objectif à notre niveau est la maîtrise des techniques de calculs.

Il serait donc souhaitable  que la colle commence par une question « calculatoire » d’un des types suivant :

• Résolution d’un système linéaire X'(t)=A.X(t) avec A matrice constante 2×2 ou 3×3:
  • Cas où A est diagonalisable dans R
  • Cas où A est diagonalisable dans C et qu’on veut des solutions réelles
  • Cas où A est seulement trigonalisable : on a comparé la méthode d’une simple trigonalisation ou de la réduction sous les sous-espaces caractéristique sur des exemples. (Pour les étudiants bien revoir le chapitre R3 de réduction).
• Résolution d’équations différentielles linéaires scalaires d’ordre deux :
  • Méthodes de première année :  MVC à l’ordre 1, calculs des primitives,  recollement des solutions des E.D. singulières( premier ordre ex 1,2 pl. D3 et un exercice sur la banque CCINP), cas des  second membres particuliers des équations à coeff. constant (cf. ex. 6,7 pl. D3)
  • Méthode de la variation Des constantes pour les ED d’ordre deux :  à bien maîtriser.
  • Quand on ne connaît pas de solutions de l’équation homogène : exemple de recherche des solutions D.S.E. (pratique à bien maîtriser !)
  • Quand on connaît une solution de l’équation homogène et qu’on en vu une autre indépendante, technique de la réduction de l’ordre par variation de la constante (ou via le Wronskien)
• Pour les équations aux dérivées partielles : technique du changement de variable (et de fonctions) : cette technique s’applique aussi aux équations différentielles ordinaires du reste mais dans tous les cas, les changements de variables doivent être donnés.

Pour toutes ces techniques les élèves trouveront à s’exercer (en plus de la planche) avec les exercices de la banque CCINP.

Dans le monde idéal où ce premier exercice de calcul n’occuperait pas toute la colle, on peut poser une question plus qualitative… même si pour l’instant peu d’exercices qualitatifs ont été traités sur la Planche-D3 : les exercices traités en classes à ce stade  sont les numéro 1 à 8 et 10 et 12, mais on a expliqué le début la résolution du 17 en comparant à celle du 6. 

C’est la dernière semaine de colle avant les écrits ! Merci à tous les examinateurs et examinatrice pour le travail mené cet année, on se retrouvera pour les oraux blancs…