On restera d’abord proche du cours (QdC), c’est aussi l’occasion de révisions de chapitres précédents de topologie, ainsi que du cours de 1ère année sur la continuité des fonctions d’une variable réelle qu’on généralise ici.
Questions de Questions de cours possibles :
- Montrer le théorème de Bolzano-Weierstrass (B.W.) dans C en admettant le résultat dans R.
- Montrer qu’un compact d’un e.v.n. E est fermé borné dans E.
- Montrer qu’un fermé dans un compact est compact.
- Donner un exemple de fermé borné non compact (aussi exercice 13 banque CCINP sur ce sujet mais on peut aussi penser au cadre préhilbertien avec une famille o.n.).
- Montrer que l’image continue d’un compact est compacte.
- Théorème des bornes atteintes pour les fonctions d’un compact dans R.
- Montrer que la sphère unité d’un e.v.n. de dim au moins 2 est connexe par arcs.
- L’image continue d’un c.p.a. est c.p.a.
- Connexité par arc pour montrer qu’une fonction d’un intervalle I de R dans R continue injective est strictement monotone.
Dans les exercices on a beaucoup insisté sur l’utilisation de la compacité pour réaliser des extrema : on pourra interroger sur les exercices 8, 10, 11 pl. T3. La notion de fonction coercive qui n’est pas au programme doit être bien comprise car elle est fréquente !
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