Semaine du lundi 13 novembre :
Début de la topologie : normes, suites d’un e.v.n. (séries en dim. finie), mais aussi ouverts, fermés, intérieur, adhérence.
On pourra commencer la colle par une question de cours dans cette liste :
- Montrer que la norme infinie sur l’espace des fonctions bornées est bien une norme (on sera très précis pour les arguments sur les sup.)
- définir ce qu’est une norme d’algèbre, en donner des exemples dans l’algèbre des fonctions bornées, et dans l’algèbre des matrices carrées.
- Théorème pour les produits de limites de suites dans une algèbre normée.
- Justifier que dans un evn de dim. finie, la convergence d’une suite se vérifie « coordonnée par coordonnée ».
- Justifier que dans un evn de dim. finie, une série absolument convergente est convergente.
- Justification de l’existence de l’exp. matricielle.
- Montrer qu’une boule ouverte est ouverte.
- Montrer que l’intérieur d’une boule fermée est la boule ouverte
- Montrer que l’adhérence d’une boule ouverte est la boule fermée
- Exercice : Montrer qu’un s.e.v. strict est d’intérieur vide.
- Caractérisation séquentielle des points adhérents.
- Lien complémentaire de l’adhérence/intérieur du complémentaire..
Sur la planche T1, on a fait tous les exercices de 1 à 9. Sur la planche T2 les ex 1, 2 et presque tout le 3. On vérifiera surtout que les définitions sont bien sues (ouvert, fermés, intérieur, adhérence) et dans une certaine mesure déjà un peu comprises.
Exercices de la banque CCINP pour cette semaine :Ex. 37, 39 sauf le 2), 40, 44,45.
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