Semaine 4 du lundi 9 octobre 2023 :
Début de l’étude de la réduction des endomorphismes et de la diagonalisation.
- Révisions sur les formules de changement de base, pour les vecteurs et les applications linéaires.
- valeurs propres, vecteurs propres : recherche à l’aide de l’équation aux valeurs propres sur des exemples en dim. finie ou infinie
- caractérisation : lambda v.p. d’une matrice A ssi det(A-lambda I)=0, application aux v.p. des matrices de petites tailles et des matrices triangulaires
- Démonstration du fait que des s.e.v. propres associés à des v.p. distinctes sont en somme directe
- Si lambda est v.p. d’un endomorphisme L et si P est un polynôme alors P(lambda) est v.p. de P(L). Conséquence si P est annulateur de L, Sp(L) est inclus dans Z(P).
- Les v.p. de L sont exactement les racines du polynôme minimal de L.
- Théorème de décomposition des noyaux : démonstration pour un produit de deux polynômes. On sera spécialement attentif à la bonne compréhension des objets manipulés (P(L)(x) et pas P(L(x)) et (PQ)(L)=P(L)o Q(L) etc…)
- Savoir donner le maximum de caractérisations d’une matrice diagonalisable et la C.S. « n v.p. distinctes en dim. n » mais en fait retenir surtout et pour chaque exercice qu’il y a d »un côté le point de vue géométrique (avec les vecteurs propres et les sev propres) et le point de vue algébrique (avec les polynômes annulateurs, le minimal).
Pour les colleurs : ON NE PARLE PAS de POLYNÔME CARACTERISTIQUE CETTE SEMAiNE ET de condition de diagonalisabilité avec celui-ci.
Exercices traités sur la planche ; 1,2,4,5,8,10,11,12,16,17. Planche-R1-2023
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