Semaine 3 du lundi 02/10 : révisions et compléments d’algèbre commutative.
La motivation principale de cette semaine est d’introduire les idéaux des anneaux de polynômes pour la définition du polynôme annulateur d’une matrice ou d’un endomorphisme. Mais cela étant, c’est aussi l’occasion de voir et revoir un certain nombres de notions sur l »algèbre commutative, l’arithmétique et les polynômes. Il est important de vérifier que les différentes structures (groupes, anneaux, corps, algèbres et donc idéaux) sont bien connues. Pas de résultat sur les groupes cette semaine, le cadre est celui de l’algèbre commutative.
Les colles commenceront si possible par une question de cours dans la liste suivante :
- Qu’est-ce qu’un anneau, qu’est-ce corps ? Montrer que Z/nZ est un corps ssi Z/nZ est intègre ssi n est un nombre premier.
- Plus généralement : pour a dans Z, montrer que la classe de a est inversible dans l’anneau Z/nZ ssi a et n sont premiers entre eux
- savoir définir ce qu’est un idéal et savoir la forme des idéaux de K[X] et de Z (dém. sur K[X]).
- Définir le polynôme minimal d’un matrice (resp. d’un endomorphisme d’un e.v. de dim. finie) et savoir pourquoi tout polynôme annulateur est divisible par le polynôme minimal.
- Expliciter le polynôme minimal d’une matrice diagonale.
- Montrer que dim K[A]=deg(mu_A).
- Montrer que si A est une matrice inversible alors A^{-1} est dans K[A].
- Montrer que si A est une matrice et P est un polynôme alors P(A) est une matrice inversible ssi P est premier avec le polynôme minimal de A.
Pour les exercices : surtout des révisions de première année sur les vérifications élémentaires sur les structures, éventuellement les congruences dans Z, mais surtout les polynômes et notamment polynômes complexes : les exercices 5 à 10 de la planche A2 ci-jointes ont été traités en classe, les suivant sont donnés aux élèves en guise de révision mais ne sont pas corrigés en classe. Les exercices de la banque CCINP proposés sur la planche couvrent une partie de ce programme de révisions.
Les exercices plus difficiles (du style des exercices 1 à 4 de la planche, même si les trois premiers ont été traités en classe) sont à réserver aux élèves les plus à l’aise. Planche-A2-2023
Bonne semaine !
joffremp2 