Semaine du lundi 28 mars
Dernière colle de l’année (avant la préparation à l’oral en mai !)
On restera très proche du cours et des exercices standard qui suivent et sauf pour les colles du jeudi, on évitera les dérivées partielles d’ordre strictement plus grand que 1.
- Définition de la dérivée selon un vecteur et des dérivées partielles dans une base.
- Montrer qu’une norme n’est, en 0, dérivable selon aucun vecteur non nul.
- Définition d’une fonction différentiable.
- Exemple de calcul de différentielles avec un DL1.
- Montrer que si f est différentiable en a alors f admet une dérivée selon tout vecteur en a et lien df(a).v=D_vf(a). (L’argument donne aussi l’unicité du DL_1). Réciproque en exercice de la planche.
- Définition du gradient d’une fonction de E dans R avec E euclidien. Pourquoi le gradient donne-t-il la « direction de plus grande pente »
- Savoir montrer qu’une fonction est différentiable en montrant qu’elle est de classe C^1 (les dérivées partielles existent et sont continues) cf ex 3 planche .
- Différentielle d’une fonction composée, traduction matricille règle de dérivation en chaîne : SAVOIR PRATIQUER.
- Cas des f(c(t)) avec t-> c(t) une courbe : (f o c)'(t)=df(c(t)).c'(t) PAR COEUR ! Avec applications possibles :
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- Pourquoi le gradient est-il orthogonal aux équipotentielles ?
- Lemme d’intégration d’un champ de gradient le long d’un chemin.
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- Application du calcul différentiel : extrema locaux (CN point critique, réciproque à la main ou argument topologique), EDP très simples (ordre 1 !!)
En fin de semaine (jeudi) en plus : dérivées partielles d’ordre supérieur.
Sur la planche ; seuls les Ex 1 à 4 ont été traités en classe pour l’instant mais en gros le programme de la semaine porte sur les exercices du recto . Sur la banque CCINP les exercices de calcul diff. portent presque exclusivement sur l’existence ou pas de la différentielle… mais les exercices de type extrema ou EDP simples sont important pour l’écrit CCINP aussi.
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