Semaine 17, Lundi 31 janvier : espaces préhilbertiens et approximation dans les espaces de fonctions.
Questions de cours possibles
- Démontrer le théorème d’approximation uniforme sur un segment des fonctions continues par morceaux par les fonctions en escalier (on pourra se limiter au cas où f est continue pour la dém.)
- Démontrer le lemme de Riemann Lebesgue suivant :
- Savoir aussi montrer le résultat précédent par I.PP si f est C^1.
- Citer le théorème d’approximation polynomiale de Weierstrass et montrer :
- Espaces préhilbertiens : montrer l’unicité du supplémentaire orthogonal éventuel d’un se.v.
- Montrer qu’un s.e.v. de dim. finie d’un e.v. préhilbertien quelconque admet un supplémentaire orthogonal.
- Citer l’inégalité de Bessel pour une famille orthonormale d’un e.v. préhilbertien
- Définir ce qu’est une suite totale (e_n) et montrer que (e_n) est une suite totale ssi pour tout f dans E, la suite des projeté orthogonaux p_n(f) sur Vect(e_1,..,e_n) converge vers f.
- Donner différentes caractérisations des suites totales orthonormales dont l’égalité de Parseval.
- TOUS les exercices de la planche T4 ont été traités et sont donc exigible sauf le 10 c) peut-être trop abstrait.
Pour les exercices d’application, on insistera sur les calculs concrets de projections orthogonales du type de l’ex. 7 de la planche (on pourra aussi vérifier que la méthode d’orthogonalisation de Gram Schmidt est bien maîtrisée) ou Ex 81, 82 de la banque INP.
Merci et bonne semaine à tous
joffremp2 