Cette semaine, des ouverts, des fermés, des applications continues. Cependant, l’avancement du cours n’a pas permis de faire beaucoup d’exercices donc on restera très proche du cours.
Pas d’exercice de la banque CCINP cette semaine. On les mettra en Semaine 9 suivante.
Questions de cours :
- définition d’un ouvert, montrer qu’une boule ouverte est un ouvert
- définition d’un fermé, montrer qu’une boule fermée est un fermé.
- montrer que l’intérieur de A est le plus grand ouvert inclus dans A
- montrer que l’adhérence de A est le plus petit fermé contenant A
- Exercice : intérieur d’un s.e.v.
- Caractérisation séquentielle des points adhérents
- Caractérisations des parties denses
- Déf. et caractérisation des ouverts relatifs (ou induits)
- Déf et caractérisation des fermés relatifs.
- Déf de la continuité d’une application, et caractérisation en terme de voisinage.
- Caractérisation de la continuité avec la préimage des ouverts (resp des fermés).
- Continuité des formes coordonnées en dim. finie.
- Les applications linéaires de K^n dans K^m sont continues.
- Exercice : le déterminant est continu puis l’inversion de matrice est continue.
- Exemples de descriptions d’ouverts/ fermés comme préimages continues d’ouverts, de fermés.
La PlancheT2 n’est pas exigible pour les colles de cette semaine. Ce programme sera reconduit, en y ajoutant la continuité des applications linéaires, la semaine prochaine. On peut encore poser des exercices sur le programme de la semaine précédentes (normes et suites). Bonne semaine.
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