Colles Maths semaine 4

Semaine 4, Lundi 4 octobre : algèbre linéaire avec un petit peu de réduction.

La première partie du cours sur la réduction a été faite  mais nous n’avons pas eu le temps de faire beaucoup d’exercices. En revanche, nous avons passé du temps sur la planche R0 donnée la semaine dernière, dont il serait bon de vérifier que les exercices ont bien été assimilés. Donc un programme un peu dissocié entre cours et exercices, comme suit : 

• Il serait bon demander de refaire un exercice 1 à 23 (sauf 11) de la PlancheR0 
• Pour la réduction on restera très proche du cours, en posant aussi si possible des questions de cours (liste suivante non exhaustive) :
  • • Enoncer et démontrer le théorème de réduction grossière par le rang (version géométrique et version matricielle, dém. géom.)
    • Montrer que les s.e.v. propres d’un endomorphisme sont en somme directe (deux démonstrations possibles)
    •  Donner un exemple d’endomorphisme dont le spectre est vide, et d’un dont le spectre est R entier.
    • Définition d’un endomorphisme diagonalisable (resp. d’une matrice dz).
    • Calculer des vecteurs propres et valeurs propres à l’aide de l’équation aux valeurs propres (exemple du cours :  transposée matrice compagnon).
    • Savoir (avec det(A-lambda I)) que les v.p. d’une matrice diagonale ou même triangulaires se voient sur sa diagonale.
    • Définir le polynôme minimal et démontrer son existence pour un endo. en dim. finie.
    • Donner (sans dém. ) le lien entre Sp(L) et les racines de mu_L (resp. d’un polynôme annulateur quelconque)
    • Enoncer le théorème de décomposition des noyaux.
    • Caractériser les endomorphismes dz à l’aide de leur polynôme minimal (sans dém.) Savoir redonner la liste des caractérisation des endo. dz donnée en fin de chapitre.

N.B. NOUS N’AVONS PAS parlé de polynôme caractéristique dans ce chapitre.

(Bien sûr la condition lambda v.p. ssi det(A-lambda I)=0 est, elle, apparue de temps à autres, voir un des item ci-dessus, mais sans qu’on s’attarde sur l’objet associé).

Pour les exercices inconnus  : on privilegiera donc le début du chapitre, l’approfondissement des exercices de sup. sur matrices équivalentes, semblables, trace, et des exemples simples d’utilisation de polynômes annulateur.

La PlancheR1 suivante sera travaillée dans la semaine.