C’est la dernière semaine pour les colles cette année ! Merci à tous les colleurs pour leur collaboration.
Cette semaine, les polynômes formels, leur construction, leur arithmétique et leurs applications.
Questions de cours :
- Qu’est-ce que le produit de Cauchy sur les suites nulles A.P.C.R. ? Quel rôle joue-t-il dans le cours ? En pratique comment apparaît-il dans nos calculs sur les polynômes ? Voir aussi : un exercice d’illustration de la formule du produit de Cauchy par exemple, ex 1 pl. 56.
- Qu’est ce que l’indéterminée X?
- Isomorphisme entre l’algèbre K[X] des polynômes formels et celle des fonctions polynomiales de K dans K si K est infini. Pourquoi cela ne marche plus si K=Z/pZ ?
- Dérivation formelle : la définir et démontrer la formule sur la dérivée d’un produit (spécialement pour Thomas).
- Formule de Taylor pour les polynômes. Pourquoi elle est utile pour caractériser les racines multiples avec la dérivation.
- Théorème de division euclidienne : unicité et existence (algorithme, terminaison, correction).
- Polynôme irréductible, déf; forme des polynômes irréductibles dans C[X] et R[X] (justifier).
- Théorème sur les idéaux de K[X], (bonus démonstration).
- Théorème déf du pgcd et du ppcm.
- Théorème de Bézout pour des polynômes premiers entre eux dans leur ensemble.
- CNS de divisibilité par un polynôme scindé.
- Dérivée de l’écriture scindée d’un polynôme et formule pour pgcd(P,P’).
Revoir : les calculs sur les nombres complexes et les polynômes complexes (chapitre C3), cf. pl. 56 ex. 6,7,8, 9.
Revoir les arguments simples d’arithmétique sur les entiers par exemple pour montrer que des nombres sont irrationnels (chapitre C1).
La planche suivante ne sera pas traitée entièrement :
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