Semaine 16 : du lundi 1er février espaces vectoriels réels, sommes directes, supplémentaires, Grassman, espaces vectoriels sur un corps K quelconque.
Un premier objectif crucial de cette semaine, la description des s.e.v d’un e.v. de dim finie :
- Beaucoup de SAVOIR FAIRE : savoir passer d’équations paramétriques à des équations cartésiennes, et inversement.
- Savoir démontrer qu’une équation cartésienne définit un hyperplan (résultat de cours).Pour le reste pas de résultat sur la théorie des équations cartésiennes, mais savoir faire sur des exemples le passage du cartésien au paramétrique.
L’autre objectif : maîtriser la notion de somme directe de deux s.e.v
Nombreuses QdC possibles pour cette notion :
- Donner le maximum de caractérisations possibles de F=F_1 somme directe F_2.
- Enoncer et Démontrer la caract des sommes directes par l’unicité de la décomposition
- Enoncer et démontrer la caract. des sommes directes par la concaténation des bases
- Que veut dire ‘F_1 et F_2 sont en somme directe ‘? Caractérisation avec la concaténation des bases, par la somme des dimensions.
- Adapter les caractérisations précédentes au cas particulier de s.e.v supplémentaires.
- démontrer le critère « 2 parmi 3 » du cours pour caractériser les s.e.v. supplémentaires.
Enfin deux théorèmes un peu consistants pour matheux en herbes :
Un nouveau héros, Grassmann (il a les cheveux verts… on peut le voir en P15 merci Aline).
- Démontrer le théorème de Grassmann (démonstration au choix parmi les deux du cours).
Un autre héros, Lagrange (on ne va pas en faire du foin mais bon) :
- Enoncé et démonstration du théorème d’interpolation de Lagrange (ce qui demande pour les élèves un effort de synthèse à partir des questions de l’ex. pl. 24).
La pl. 25 a été entièrement travaillée en classe sauf les deux derniers exercices (dont le dernier : existence d’un supplémentaire commun, ne sera corrigé que lundi).
Sur les espaces vectoriels sur un corps quelconque, on pourra poser des questions en deuxième partie de colle. La pl. 26 est donnée à titre indicatif des exercices que nous traiterons pour le début de la semaine. Notamment PAS de suites récurrentes linéaires d’ordre deux cette semaine s.v.p., ce sera la semaine prochaine, merci !
plan-sem-16 Planche25 Planche26
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