Mise à jour de la page des planches d’oraux

Toutes les planches des td d’exercices 2024 sont disponibles sur cette page ainsi que celles de l’an dernier aussi que j’utilise aussi pour vos oraux individuels.

Pour la semaine à venir

Mardi 10 Juin planche chapitre D

Mercredi 11 Juin planche chapitre T

Jeudi 12 Juin planche chap D et selon demande (peut être refaire un peu du chap I important !)

Vendredi 13 juin : ratatouille selon vos choix.

Pensez à la banque ccinp tous les jours !!

Colles de maths sem 23, dernière semaine,lundi 31 mars : calcul différentiel.

Merci beaucoup aux collègues qui assurent ces colles, à bientôt pour les oraux blancs.

La connaissance du cours est essentielle, notamment la nature des objets (on peut se livrer à des décompositions grammaticales des formules : où vit chaque objet de la formule) mais pour rassurer les élèves, on peut dire qu’ici  les exercices seront de trois ou quatre types  (cf. la planche, Planche-D3, faite presque entièrement sauf ex 15)

– calculs de différentielles par D.L. ou autre (type ex. 5,6,7 pl)

– étude du caractère C^1 au voisinage d’un point à problème (type ex 1 à 4 pl).

– étude des extrema locaux avec le calcul diff à l’ordre deux (type ex 12 à 14 pl) complété éventuellement par des considération topologique ou de limite pour savoir si on a des extrema globaux .

– pour les plus à l’aise, exercice plus théoriques utilisant souvent la dérivation le long d’une courbe (un segment) (type ex 8,9, 10,..) mais pour tous la formule de dérivation le long  d’un courbe non connue (comme celle plus générale de d(g of)) donnera lieu à  un zéro en colle !

Pas  de vecteurs tangents, d’extrema sous contrainte  ou d’E.D.P. cette semaine (et donc choisir parmi les exercices de la banque CCINP cités sur la planche ceux qui n’utilisent pas ces notions à savoir 33, 52, 56 sauf la fin (même si…), 57, 58  et pas le 41).

Merci  de bien respecter les notations du programme sur le sujet.

  • Calcul différentiel d’ordre 1 :
    • Définition de la dérivée D_v f(a) de la fonction f selon le vecteur v au point a et lien avec les dérivées partielles, cas où f est une norme N et a=0 ?
    • Savoir qu’il existe des fonctions f telles que D_v f(a) existe pour tout v et qui ne sont pourtant pas continue en a (exemple sur la planche ou en cours).
    • Définition de la différentiabilité : existence d’un D.L. 1, notation df(a).h
    • définition du gradient pour les fonctions à valeurs scalaires.
    • Faire BEAUCOUP de calculs de différentielle (de gradient) avec des D.L. 1 comme ceux de la planche ex 5,6,7.
    • Déf. des fonctions de classe C^1 : l’application x-> df(x) est continue, mais surtout caractérisation miraculeuse avec les dérivées partielles
    • Exercices concrets où l’on utilise le point précédent (cf. planche et banque CCINP).
    • Formule sur la différentielle d’une composée d(f o g)=,  deux cas particuliers très utiles si l’espace intermédiaire est R et surtout si l’espace de départ est R (dérivée selon une courbe à savoir par coeur !)
    • Formule d’intégration le long d’un chemin. Application si df=0 sur un ouvert c.p.a. alors f est constante.
    • C.N. d’extremum local en un point d’un ouvert : point critique.
  • Calcul différentiel d’ordre 2 :
    • fonctions C^2, C^k, théorème de Schwarz (admis)
    • Calcul de la dérivée seconde de t->f(a+tx)
    • Définition de la Hessienne d’une fonction f : U -> R, expliquer pourquoi c’est aussi la jacobienne du gradient de f.
    • Savoir citer le théorème de Taylor-Young à l’ordre 2 (admis)
    • C.N. de min. local : point critique a tel que Hf(a) soit symétrique positive (savoir dém).
    • C.S. de min. local : point critique a tel que Hf(a) soit définie positive. (dém non exigée mais faite).
    • Beaucoup de Pratique en dim. 2 avec det(Hf(a)) et Tr(Hf(a)).
    • Exemple où Hf(a) est dégénérée (0 v.p.) en exercice.

Colles de maths semaine 22 : lundi 24 mars

Thème : compacité, connexité par arcs et révisions de topologies des e.v.n.

On restera d’abord proche du cours et des exercices déjà travaillés. 

Questions de cours possibles :

  • Montrer le théorème de Bolzano-Weierstrass (B.W.) dans C en admettant le résultat dans R.
  • Montrer qu’un compact de E est fermé borné dans E.
  • Montrer qu’un fermé dans un compact est compact.
  • Donner un exemple de fermé borné non compact (aussi exercice 13 banque CCINP sur ce sujet mais penser au cadre préhilbertien aussi).
  • Montrer que l’image continue d’un compact est compacte.
  • Théorème des bornes atteintes pour les fonctions d’un compact dans R.
  • Théorème de B.W. en dimension finie (sans dém.) : deux formulations : les boules sont compactes ou les suites bornées admettent une v.a.
  • Montrer qu’un s.e.v. de dim. finie est toujours fermé dans tout e.v.n. (comprendre la différence d’arguments par rapport au cas plus facile où l’e.v.n. ambiant est déjà de dimension finie).
  • Définition de la connexité par arc et des composantes connexes par arcs.
  • Parties connexes par arc (c.p.a.) de R?
  • Image continue d’un c.p.a.

Les exercices  de la Planche-T4-2024-2025 ont tous été traités sauf l’ex. 7)b) et l’ex 9.

L’exercice sur les fonctions coercives doit être bien compris et pouvoir être adapté à des situations simples, y compris éventuellement en variable réelle.

Les exercices de la banque CCINP marqués  en haut de la planche sont prévus, pour certains,  pour faire la transition avec le cours de calcul diff qui sera au programme de la semaine 23, semaine 23 qui sera la dernière semaine de colle avant les révisions.

Colles de maths

Semaine 21 : lundi 17 mars

Tout le programme de MP de probabilité :  donc par rapport aux semaines précédentes, on rajoute notamment : espace L^2,  variances, covariances, fonctions génératrices, inégalités de Cauchy-Schwarz,  Markov, Tchebychev, et loi faible des grands nombres.

Toute la banque CCIN¨P de proba est exigible, tout spécialement les exercices sur les thèmes ci-dessus.

La planche P3 aura été traitée intégralement sauf peut-être le dernier exercice.

Planche-P3-2024-2025

Bonne semaine, il y a DS de proba à la fin de la semaine ….