Colles de maths sem 3 : lundi 29/09

Semaine 3, du lundi 29 septembre :

révisions et compléments d’algèbre commutative.

La motivation principale  de cette semaine est d’introduire les idéaux des anneaux de polynômes pour la définition du polynôme annulateur d’une matrice ou d’un endomorphisme. Mais cela étant, c’est aussi l’occasion de voir et revoir un certain nombre de notions sur l’algèbre commutative, l’arithmétique et les polynômes.  Il est important de vérifier que les différentes structures (groupes, anneaux, corps, algèbres et donc idéaux) sont bien connues. On pourra donc commencer  la colle par un exercice rapide de vérification de ces définitions.

Pas de résultat sur les groupes cette semaine, le cadre est celui de l’algèbre commutative.

Pour le cours :

  • Qu’est-ce qu’un anneau, qu’est-ce corps ? Montrer que Z/nZ est un corps ssi Z/nZ  est intègre ssi n est un nombre premier.
  • Plus généralement : pour a dans Z, montrer que la classe de a est inversible dans l’anneau Z/nZ ssi a et n sont premiers entre eux
  •  savoir définir ce qu’est  un idéal et savoir la forme des idéaux de K[X] et de Z (démonstration faite dans  K[X] à connaître).
  • Définir le polynôme minimal d’un matrice (resp. d’un endomorphisme d’un e.v. de dim. finie) et savoir pourquoi tout polynôme annulateur est un multiple du  polynôme minimal.
  • Expliciter  le polynôme minimal d’une matrice diagonale.
  • Montrer que dim K[A]=deg(mu_A).
  • Montrer que si A est une matrice inversible alors A^{-1} est dans K[A].
  • Montrer que si A est une matrice et P est un polynôme alors P(A) est une matrice inversible ssi P est premier avec le polynôme minimal de A.

Pour les exercices supplémentaires  surtout des révisions de première année notamment sur les polynômes, les nombres complexes, ou très élémentaires d’arithmétique. 

Les exercices de la banque CCINP proposés  en haut de la planche couvrent une partie de ce programme de révision (racines de l’unité, polynômes de Lagrange, formule de Taylor pour les polynômes).

Planche-A2-2025-2026 (ex. traités 1 à 5 et 7 à 11 au moins….)

Colles de maths sem 2 : lundi 22 /09

 Révisions d’algèbre  linéaire

Le cours de 2ème année d’algèbre linéaire (hors réduction à venir) n’apporte que très peu de compléments. Les voici comme question de cours :

  • Somme directe de plusieurs s.e.v.: définition par l’unicité de l’écriture, différentes caractérisation, notamment avec l’isomorphisme avec le produit direct, la caractérisation par les sommes nulles, et en dimension finie, avec les bases et la dimension.
  • Matrices par blocs : produits, opérations élémentaires sur les blocs, formule du déterminant d’une matrice triangulaire par bloc (deux démonstrations faites, en donner une au choix). Les exercices consistent souvent à se ramener à cette forme triangulaire par bloc par opération ou multiplication par des matrices codant les opérations qu’on veut faire….
  •  Question de révision (non faite en classe) : calcul du déterminant de Vandermonde. D’une manière générale, bien réviser le cours de 1ère année sur les déterminants : un calcul de déterminant inconnu (par bloc ou pas) sera aussi bienvenu.`

La semaine a donc été consacrée a de très nombreux exercices sur la Planche-A1-2025-2026

Cette planche a été faite à peu près entièrement, on pourra donc aussi interroger sur ces exercices comme « Question de cours« . (L’ex. 5  plus difficile  a fait un peu peur; donc non exigible). Exercices non traités en classe : 6, 9,  14 et à partir du 26.

La nouvelle Banque CCINP et les ex de la semaine

Rebonjour

voici la version 2026 de la banque CCINP, vous la retrouverez toute l’année sur la page Pratique.

banque finale avec corr session 2026

banque finale sans corr session 2026

Par ailleurs pour les colles de cette semaine les exercices de la banque sont seulement le 5,6,7 et le début du 8. Je corrige sur le programme de colle.

Colles de maths semaine 1 :lundi 15/09

Semaine 1, lundi 15 septembre : série numériques et familles sommables

On testera d’abord systématiquement que les élèves sont bien à l’aise avec les manipulations d’équivalents et D.L.  aussi bien pour les séries à termes positifs (variantes d’ex. 3,4,5 ) que de D.L. encore pour les séries de signe variable (variantes de l’ex. 9).

Planche S1 : Planche-S1-2025-2026 (avec banque CCINP seulement ex 5,6,7 et 8.1)

On peut aussi poser en question de cours 

  • Définition de la divergence grossière, et savoir démontrer que si la série de terme général (u_n) converge alors (u_n) tend vers zéro.
  • Définition des relation o(), O().
  • Test de d’Alembert avec démonstration.
  • Citer précisément le théorème de sommation des relations de comparaison et démontrer un cas.
  • Citer le Théorème sur les   séries alternées spéciales avec comme conclusion aussi le signe du reste et la majoration du reste.
  • Savoir mettre en oeuvre le lien suites/séries : exemple du développement asymptotique de H_n à la précision o(1/n).
  • Définition de la sommabilité et de la somme d’une famille sommable : cas positif, cas signe quelconque.
  • Exemple concret de manipulation de familles sommables avec le théorème de sommation par paquet : en deux temps pour le cas des familles de signe variable  sur l’exemple des (-1)^p/q^p