Auteur : romainbondil

Bonsoir, une autre solution de l’exercice 8 avec la convexité, proposée par A.B.

J’espère avoir bien retranscrit son email…

 

« Demain, dès l’aube, à l’heure où blanchit la campagne,

j’enverrai cette solution de l’ex. 8 « … et il l’a fait…

Un de vos camarades s’est levé tôt pour envoyer cette solution.

Chouette, on peut espérer une solution de l’ex. 9 pour ce soir, ce qui finirait bien la semaine, et les exercices sur les inégalités !

 

Seule remarque sur cette bonne rédaction de l’exo 8 : une bonne habitude à prendre (et une mauvaise à perdre)  : ne pas recopier l’énoncé sans écrire ‘Montrons que’. Sinon on ne sait pas si vous affirmez, si vous voulez montrer…

(En fait, le plus souvent il est inutile de recopier l’énoncé. En revanche, il est utile d’écrire montrons que pour énoncer des résultats intermédiaires dont vous avez besoin et structurer vos réponses).

 

 

 

 

 

Bon, on va faire rapide…

Ainsi nous voyons que les trois méthodes vues pour l’IAG s’appliquent pour cet exemple aussi…

Une première bonne rédaction de cette question…  attention à bien penser à toujours dire pour quel b pour quel a vos formules sont valables….

Par exemple une phrase comme « montrons que f(b) est positif » ne veut pas dire grand chose si on ne sait pas de quel b on parle.

 

Remarque : On peut faire d’autres preuves pour cette question, qui permettent de « deviner » cette inégalité.

Notamment en utilisant le fait qu’on a montré  que x->sqrt(x) est sous-additive.
Or un autre nom de la sous-additivité dans le cas de f : x-> |x| c’est l’inégalité triangulaire.

Et on sait que l’I.T. entraine l’I.T. 2. Or l’inégalité à démontrer, n’est ce pas une sorte d’ IT 2 pour x-> sqrt(x)?

 

 

Bonjour à tous,

après ma suggestion dans le post précédent, Ph. N., très motivé donc, a remarquablement traité le  même exercice en enlevant l’hyp. de dérivabilité.

(On peut enlever les lignes 2 ,4, et dire directement que la déf. de « f  concave » est la propriété dans le premier encadré (quantifiée comme ci-dessous ligne 3)

Bonjour,

une très bonne rédaction de l’ex. 6. (initiales de l’auteur :  E.D.) par intégration.

Dans la solution en question il est entendu que la fonction t-> f'(t+y) admet pour primitive t-> f(t+y) bien sûr.

 

Je propose aussi une autre rédaction très analogue, mais du point de vue des dérivées plutôt que des intégrales (méthode standard, dérivée de la fonction différence, en fixant une variable).

N.B. 1 : on dira qu’une fonction f est additive si f(x+y)=f(x)+f(y) pour tout x,y, d’où la dénomination sous-additive ici.

N.B. 2 Pour les plus motivés : peut-on montrer le même résultat sans hypothèse de dérivabilité, seulement avec la déf. de f convexe ?

 

Suite à la question d’hier sur les problèmes de complexité. Je vous propose une mauvaise solution de la question 7 du DM d’IPT en expliquant pourquoi elle est mauvaise. Pour que ce soit plus clair, je dois spoiler un peu la Q6.. en partie du moins

 

 

J’ai reçu hier soir une bonne solution de l’ex. 5. avec la convexité, mais sans photo, juste tapée. Bravo W. !
En voici une version avec traitement de texte.

Bien se dire que cet énoncé crie :  « je suis une inégalité de convexité avec f((a+b)/2) plus petit que (f(a)+f(b))/2 « .

Ouverture culturelle : on peut montrer réciproquement qu’une fonction continue sur un intervalle I  et qui vérifie que pour tout a,b dans I, f((a+b)/2) plus petit que (f(a)+f(b))/2 est automatiquement convexe…. mais c’est un exercice autrement plus difficile, qui aura plus sa place au chapitre F. Cet remarque veut seulement souligner l’importance de cette inégalité a priori bien particulière pour les fonctions convexes.