Auteur : romainbondil

Cette semaine, tout sur la diagonalisation, les polynômes caractéristiques, Cayley-Hamilton et bien sûr tout le programme précédent .. On devrait avoir un peu plus de recul cette semaine !

Pas de trigonalisation encore cette semaine, merci même si le cours a été fait.

Nous avons fait beaucoup d’exercices : tous ceux de la Planche-R2 

 ont été travaillés et corrigés en classe sauf l’ex. 4 et 15 et peuvent être reposés en colle.

Pour les « questions de cours » : penser aussi aux exercices de la banque CCINP marqués en début de planche R2 et questions suivantes :

• Calcul du polynôme caractéristique d’une matrice compagnon.
• Justifier que la multiplicité géométrique d’une v.p. est inférieure ou égale à sa multiplicité algébrique.

Pour les étudiants : il est inadmissible que les questions de cours/exercices de planche ne soient pas sus en colle.

Pour les examinateurs : merci de sanctionner très nettement ces cas là au moins par une note en dessous de la moyenne (ou selon le cas  un sermon  ou un coup de pied au …)

 

Début de l’étude de la  diagonalisation.

• Révisions sur les formules de changement de base, pour les vecteurs et les applications linéaires.
• valeurs propres, vecteurs propres : recherche à l’aide de l’équation aux valeurs propres sur des exemples en dim. finie ou infinie
• caractérisation : lambda v.p. d’une matrice A ssi det(A-lambda I)=0, application aux v.p. des matrices triangulaires
• Démonstration(s) du fait que des s.e.v. propres associés à des v.p. distinctes sont en somme directe
• Si lambda est v.p. d’un endomorphisme L et si P est un polynôme alors P(lambda) est v.p. de P(L). Conséquence si P est annulateur de L
• Les v.p. de L sont exactement les racines du polynôme minimal de L.
• Théorème de décomposition des noyaux : démonstration pour un produit de deux polynômes. On sera spécialement attentif à la bonne compréhension des objets manipulés (P(L)(x) et pas P(L(x)) et (PQ)(L)=P(L)o Q(L) etc…)
• Savoir donner le maximum de caractérisation d’une matrice diagonalisable et la C.S. « n v.p. distinctes en dim. n « .

Pour les exercices : on a traité les exercices 1 à 6 et 9 et 10 de la planche PlancheR1 . Le reste sera traité en tout début de semaine. Ne pas oublier les exercices de la Banque CCINP en haut de planche.

Je n’ai pas encore prononcé le mot « polynôme caractéristique » ce n’est pas le héros de cette semaine même si on l’a rencontré au détour du chemin (cf. plus haut avec les matrices triangulaires).

Bonjour, Zohra m’a fait remarqué que  j’avais oublié de mettre cette solution en ligne, la voici DM2-2022-2023-sol

Je désespère … cinquième version du colloscope avec les salles modifiées…. attention colles de M. Bourdin, M Marche, Mme Roth, M. Scribano modifiées…  Grrr…

Voici donc le colloscope modifié… colloscope-MP2-2022-v5 

bien sûr aussi sur la page « pratique »

rb

Bonjour

attention M. Bernard collera désormais (toujours le mardi) de 18h à 19h au lieu de 17h à 18h. Je modifie sur le colloscope en ligne.

Attention cette modification s’applique dès demain : trinôme 2.

Bonjour,  essayez d’être à jour au moins sur toute cette partie 1 du TP pour démarrer directement au moins au  début de la partie 2 lors de la prochaine séance.  En voici une solution : TP1-Dictionnaires-sol-partie1

Vous retrouverez tous les fichier sur la page Informatique 2ème année.

N’oubliez pas aussi de vous entraîner avec les exercices et codes rappelés dans le début de cours sur les graphes jeudi dernier :  est-ce que je sais programmer un parcours en largeur ?

Un peu de Python (une bonne demi-heure) chaque week-end suffira pour vous entretenir les réflexes de programmation et digérer les notions petit à petit.

Voici la nouvelle cuvée d’exercice pour les oraux 2023 :

• BanqueCCINPMP-2023-sans-corrigé
• Banque CCINP MP-2023 avec corrigé

Désormais les exercices cités en haut des planches feront référence à cette version.

L’essentiel :  toujours des révisions d’algèbre linéaire de première année et un peu d’arithmétique des polynômes et de polynômes appliqués aux matrices.

Beaucoup de ‘questions de cours’ possibles :

•  Toute la Planche-R0 a été faite en classe. On pourra demander de retraiter un exercice de cette planche en question de cours.
• On pourra aussi vérifier la connaissance des théorèmes de première année : par exemple, les théorèmes sur le rang (notion dont je me suis aperçu qu’elle était mal connue) !
  • • caractérisation du rang avec les matrices extraites,
    • le fait que toute matrice de rang r soit équivalente à une matrice ‘J_r’,
    • ou encore qu’une matrice et sa transposée ont le même rang.

Les étudiants devront donner au moins une idée de démonstration de ces résultats.

• Le cours de la semaine : Arithmétique/Polynôme et Polynômes appliqués à des matrices.
  Question sur cours  :
  • savoir définir un idéal et savoir pourquoi les idéaux de K[X] sont principaux,
  • savoir la prop-définition du PGCD et PPCM avec les idéaux et pourquoi cette déf entraîne immédiatement que tout multiple commun est un multiple du PPCM et tout diviseur commun est un diviseur du PGCD
  • Savoir la caractérisation des éléments inversibles dans Z/nZ.
  • Propriété définition du polynôme minimal d’une matrice, d’un endomorphisme.
  • Connaitre le polynôme minimal d’une matrice diagonale.
  • Savoir pourquoi l’inverse d’une matrice A est un polynôme en A.
  • Savoir pourquoi P(A) inversible dans M_n(K) ssi P et mu_A sont premiers entre eux.

On pourra aussi poser un exercice de révision sur les polynômes (divisibilité,polynôme irréductibles). Dans la planche suivante seuls les exercices 1 à 3 ont été faits en classe à ce stade mais les exercices 4 à 7 sont tout à fait dans l’esprit du programme de colle et seront corrigés lundi : Planche-A1

C’est ici et sur la page DS : DS1-2022-2023

DS1-2022-2023-sol

J’ai posé cette question sans indication parce que je pensais que vous l’aviez forcément rencontrée au détour d’un exercice en sup. et vous inviter ainsi à rouvrir vos classeurs de sup. Mais au cas où voici une méthode :