Semaine 13 du lundi 5 janvier :révisions et compléments sur les espaces préhilbertiens et un peu d’approximation dans les espaces de fonctions.
L’essentiel est déjà de bien réviser le cours de 1ère année sur les espaces préhilbertiens et euclidien. Prenez le temps de reprendre ces cours et les planches de 1ère année pendant ces vacances. C’est un sujet important !
- Définir le produit scalaire canonique de R^n, dans M_{m,n}(R) (deux expressions montrer qu’elles coïncident).
- Théorème d’Anaïs : une base (e_1,…,e_n) est orthonormée pour un produit scalaire (. | .) si et seulement si pour tout u,v dans E, (u|v)=x_1 y_1+…+ x_n y_n où x_1…x_n sont les coordonnées de u dans cette base (resp y_1… y_n pour v).
- Produit scalaire dans L^2,continue(I,R) (justifier la convergence des intégrales)
- Produit scalaire dans l^2(N,R) (justifier la convergence de la série… non détaillée en classe… à faire pendant les vacances, demander aux 5/2 si pb !).
- Expliquer pourquoi le p.s. est une application bilinéaire CONTINUE (savoir la caractérisation des appli. bilinéaires continues).
- Montrer que l’orthogonal d’une partie dense est réduit à {0}. Application au ‘lemme des moments’ (Banque CCINP 48 même si le corrigé de la banque est formulé sans produit scalaire, voir la rédaction faite en classe !).
- Lemme de représentation de Riesz pour les formes linéaires d’un espace euclidien. (En dim. infinie une forme linéaire ayant une telle représentation est automatiquement continue…)
- Montrer que l’orthogonal d’une partie A de E est un s.e.v. fermé de E.
- Existence d’un supplémentaire orthogonal pour un s.e.v. de dim. finie d’un espace préhilbertien.
- Formule de calcul de la projection orthogonale quand on connait une base orthogonale de ce s.e.v. : application à l’exemple très important des sommes partielles de la série de Fourier de f (formule des coeff. de Fourier).
- Le projeté orthogonal d’un vecteur v sur un sev F est l’unique vecteur de F qui minimise la distance entre v et les vecteurs de F.
- Mise en oeuvre de l’orthogonalisation de Gram-Schmidt sur des exemples.
On insistera beaucoup sur les calculs de projections orthogonales qui doivent être bien compris.
Pour les étudiantes et étudiants qui seraient très à l’aise avec les outils préhilbertiens on peut aussi donner en second exercice un exercice sur l’approximation en norme infinie (théorème de Weierstrass) : seul exemple d’application traité en classe le théorème de Riemann Lebesgue.
Sur la Planche-T3-2025-2026 nous n’avons traité en classe que les exercices 6 à 10 et 15 et 16. (Les 5/2 ont traité le début de la planche, vous pouvez les embêter avec Weierstrass). Les exercices de la banque CCINP cités en haut de planche doivent aussi être bien travaillés. Certains ont l’inconvénient de faire calculer les projections orthogonales avec des astuces adhoc plutôt qu’avec la formule générale.
Pour la semaine suivante, et donc aussi à travailler pendant les vacances, reprendre les deux chapitres d’intégration I1 et I2 ; les vérifications d’intégrabilité ne doivent plus avoir de secrets pour vous, pas plus que les théorèmes de Lebesgue : leurs hypothèses et la façon de les utiliser. C’est aussi très important pour assimiler la dernière livraison de théorèmes de Lebesgue qui viendra avec le chapitre I3 lors de la semaine de la rentrée. Donc ce sera essentiel pour redémarrer du bon pied.
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