Suites et séries de fonctions.
Convergence simple, uniforme, uniforme sur tout segment, normale et théorème de régularités des limites C^0,C^1, C^p (avec valeur des dérivées..) , intégration d’une limite uniforme sur un segment, interversion des limites, déclinés en version suites et séries.
Connaissance précise des théorèmes et application efficace des méthodes !
- On pourra demander un énoncé précis de théorème en début de colle. On attend du soin sur ces énoncés !
- Démonstration du théorème de continuité d’une limite uniforme d’une suite de fonctions continues (idée importante « couper en trois » et attention à l’ordre des choix).
- Démonstration (facile !) du théorème d’intégration d’une limite uniforme sur un segment.
- Le théorème d’interversion des limites a été admis : l’énoncé doit être bien restitué en version suite et en version séries (« sommation des limites »).
- Exemple de la fonction zeta réelle : plusieurs questions possibles : continuité, caractère C infini, limite à l’infini
- Cas où le théorème d’interversion des limites ne s’applique pas : comment montrer que zeta(x) tend vers l’infini quand x tend vers 1 avec la déf de la limite (question plus difficile bonus ci-dessous méthode plus simple avec l’équivalent).
- Exemple de la suite des fonctions x-> n sin(x/n) méthode pour la CVU sur les segments et pourquoi on n’ a pas CVU sur R
- Recherche d’équivalent de la somme d’une série de fonction :
- Méthode d’encadrement par des intégrales pour un équivalent quand x->1 de la fonction zeta (encore elle !)
- Méthode qui ramène à l’application du théorème d’interversion des limites en divisant par le candidat équivalent faite sur la somme des x/(n^a (1+nx^2))
- Exercice de la Planche-S2-2025-2026 : les ex 1 à 6 et 9 et 10 ont été traités et donnent déjà pas mal d’exemples de méthodes. On traitera sûrement 11 et 12 en début de semaine.
- Exercice de la banque CCINP ; il y en a beaucoup (cf. haut de la pl S2) : les élèves doivent en travailler au moins 4 pour cette semaine, leur demander ceux qu’ils ont travaillés.
Bonne semaine !
joffremp2 