Semaine 9 : du lundi 24 novembre : intégrales généralisées et (si possible) compléments sur les applications linéaires continues.
- On commencera la colle par une étude d’intégrabilité de fonction à l’aide des théorèmes de comparaison : o, O, équivalents, majorations de l’intégrande .
2. Thème d’Exercices possibles :
–Notion d’intégrale généralisée convergente/divergente sur un intervalle I.
-Notion d’intégrale absolument convergente et notion associée de fonction intégrable.
Pour les étudiants : majoration toujours de la valeur absolue de l’intégrande !
-Exemple d’intégrale semi-convergente : cas de sin(t)/t^a avec a dans ]0,1], expliquer. Savoir justifier que l’intégrale du sinus cardinal sur [1,+infini[ est convergente et non absolument convergente.
-Pratique des IPP et changement de variables.
-Théorème d’intégration des relations de comparaison, et méthode d’I.P.P. pour trouver des équivalents.
On attend un travail personnel de révision des méthodes de CALCUL d’intégrales vues en 1ère année, tableau de primitive à bien connaître, méthodes pour les fonctions rationnelles, ou trigonométriques … on pourra se tester aussi sur le verso de la planche I1 qui ne sera pas corrigé en classe.
Planche I1 : Planche-I1-2025-2026 on aura traité les exercices 1, 2, 3 et 5. Voir aussi les exercices de la banque cités en haut de planche.
3) Pour les élèves les plus rapides : on peut interroger, en restant très proche du cours, sur les applications linéaires continues et les normes subordonnées.
Question de cours :
-définitions équivalentes de la continuité d’une application linéaire
-définition équivalentes des normes subordonnées
-les normes subordonnées sont des normes d’algèbre
-si l’espace de départ est de dim. finie les applications linéaires sont toujours continues.
Exemples sur la banque CCINP ex 1, 36, 38, 39.
Bonne semaine !
joffremp2 