Thème : espaces vectoriels normés : normes et suites, séries avec révisions sur les séries numériques.
- La colle commencera par un exercice de révision sur les séries numériques, assez élémentaire avec une série de terme général u_n explicite dont on détermine la nature avec les outils des développements asymptotiques et autres majorations. Pour les élèves : ce calcul ne doit pas occuper plus de 15 minutes, si possible moins (Les DL les DL les DL les DL, et potiron et O(1/n^2) nos amis).
2. Sur le cours nouveau : normes et suites/séries dans un e.v.n. voici quelques questions de cours possibles :
- Montrer que la norme infinie sur l’espace des fonctions bornées sur un ensemble quelconque valeurs dans K, à est bien une norme (on sera très précis pour les arguments sur les sup.) (attention pour les étudiants le sup n’est pas supposé être un max.)
- Comparer N_1,N_2,N_infini dans R^n (inégalités).
- Montrer que N_1 et N_infini ne sont pas équivalentes dans C([0,1],R).
- Théorème pour les produits de limites de suites dans une algèbre normée (c’est à dire munie d’une norme d’algèbre, avec démonstration)
- Justifier que dans un evn de dim. finie, la convergence d’une suite se vérifie « coordonnée par coordonnée ».
- Justifier que dans un evn de dim. finie, une série absolument convergente est convergente.
- Justification de l’existence de l’exp. matricielle
- Calcul de l’exponentielle d’une matrice diagonalisable, justifier.
- Pour ce qui est de la planche T1 : tous les exercices ont été traités sauf le 9, le 11 f), le 14, le 15 c) et le 17. Planche-T1-2025-2026
3. Un exercice inconnu sur la demi heure restante (pour la Colle idéale !)
Bonne semaine à tout le monde !
joffremp2 