Thème : compacité, connexité par arcs et révisions de topologies des e.v.n.
On restera d’abord proche du cours et des exercices déjà travaillés.
Questions de cours possibles :
- Montrer le théorème de Bolzano-Weierstrass (B.W.) dans C en admettant le résultat dans R.
- Montrer qu’un compact de E est fermé borné dans E.
- Montrer qu’un fermé dans un compact est compact.
- Donner un exemple de fermé borné non compact (aussi exercice 13 banque CCINP sur ce sujet mais penser au cadre préhilbertien aussi).
- Montrer que l’image continue d’un compact est compacte.
- Théorème des bornes atteintes pour les fonctions d’un compact dans R.
- Théorème de B.W. en dimension finie (sans dém.) : deux formulations : les boules sont compactes ou les suites bornées admettent une v.a.
- Montrer qu’un s.e.v. de dim. finie est toujours fermé dans tout e.v.n. (comprendre la différence d’arguments par rapport au cas plus facile où l’e.v.n. ambiant est déjà de dimension finie).
- Définition de la connexité par arc et des composantes connexes par arcs.
- Parties connexes par arc (c.p.a.) de R?
- Image continue d’un c.p.a.
Les exercices de la Planche-T4-2024-2025 ont tous été traités sauf l’ex. 7)b) et l’ex 9.
L’exercice sur les fonctions coercives doit être bien compris et pouvoir être adapté à des situations simples, y compris éventuellement en variable réelle.
Les exercices de la banque CCINP marqués en haut de la planche sont prévus, pour certains, pour faire la transition avec le cours de calcul diff qui sera au programme de la semaine 23, semaine 23 qui sera la dernière semaine de colle avant les révisions.
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