Colles de maths semaine 18 : lundi 10 février

Equations différentielles linéaires.

Bien connaître l’énoncé du Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire dans le cas vectoriel et son adaptation au cas scalaire.

L’objectif principal de la semaine  est la maîtrise des techniques de calculs notamment dans le cas des systèmes linéaires matriciels.

Il serait donc souhaitable  que la colle se concentre  en premier lieu sur  une question « calculatoire » d’un des type suivant :

Résolution d’un système linéaire X'(t)=A.X(t) avec A matrice constante 2×2 ou 3×3:

• • Cas où A est diagonalisable dans R
  • Cas où A est diagonalisable dans C et qu’on veut des solutions réelles
  • Cas où A est seulement trigonalisable : on a comparé la méthode d’une simple trigonalisation ou de la réduction sous les sous-espaces caractéristiques sur des exemples. (Pour les étudiants bien revoir le chapitre R3 de réduction).
  • IL serait INADMISSIBLE de ne pas savoir trigonaliser une matrice 3×3 cette semaine !! De même le calcul des vecteurs propres doit être efficace !
• Nous avons traités tous les exercices correspondants ex 5 à 8 de la Planche-D2 en plus de nombreux exemples du cours.  S’entraîner aussi avec ex 74, 75 de la banque CCINP.

Ensuite, on peut examiner la Résolution d’équations différentielles linéaires scalaires   d’ordre deux : la principale nouveauté, outre le théorème de Cauchy Lipschitz linéaire qu’il faut encore une fois bien énoncer, est:

•  la méthode de variations des constantes à l’ordre deux. Là encore on pourra vérifier que la méthode est bien apprise sur des exemples concrets (calculs avec aussi révisions des calculs de primitives).
• Ne pas oublier aussi la recherche de solutions particulières développables en séries entières, la technique est importante est doit être bien travaillée.

Nous n’avons pas eu le temps de traiter les exercices plus qualitatifs à ce stade, en revanche ,nous avons travaillé des exercices un peu plus théoriques sur l’exponentielle matricielle  (début de planche sauf ex 4 )qui pourraient faire des questions pour les élèves plus à l’aise en deuxième partie de colle.