Révisions et compléments sur les espaces préhilbertiens et un peu d’approximation dans les espaces de fonctions.
- Définir le produit scalaire canonique de R^n, dans M_{m,n}(R) (deux expressions montrer qu’elles coïncident)
- Produit scalaire dans l^2(N,R) (justifier la convergence de la série…)
- Produit scalaire dans L^2,continue(I,R) (justifier la convergence des l’intégrale)
- (Les justifications des exemples précédents n’ont pas tous été détaillés en classe ou bien ont été faites dans d’autres chapitres (I1 pour L^2(I,R), ne pas hésiter à me demander en cas de pb).
- Expliquer pourquoi le p.s. est une application bilinéaire CONTINUE (savoir la caractérisation des appli. bilinéaires continues).
- Montrer que l’orthogonal d’une partie dense est réduit à {0}. Application au ‘lemme des moments’ (Banque CCINP 48 même si le corrigé de la banque est formulé sans produit scalaire, voir la rédaction faite en classe !).
- Lemme de représentation de Riesz pour les formes linéaires d’un espace euclidien.
- Montrer que l’orthogonal d’une partie A de E est un s.e.v. fermé de E.
- Existence d’un supplémentaire orthogonal pour un s.e.v. de dim. finie d’un espace préhilbertien.
- Formule de calcul de la projection orthogonale quand on connait une base orthogonale de ce s.e.v. : applications sur des exemples, cas des sommes partielles de la série de Fourier de f.
- Le projeté orthogonal d’un vecteur v sur un sev F est l’unique vecteur de F qui minimise la distance entre v et les vecteurs de F.
- Mise en oeuvre de l’orthogonalisation de Gram-Schmidt sur des exemples.
On insistera sur les calculs de projections orthogonales qui doivent être bien compris
Pour les étudiantes et étudiants les plus à l’aise on peut aussi donner en second exercice un exercice sur l’approximation en norme infinie (théorème de Weierstrass démontré en T.D. par convolution avec approximation de l’identité).
sur la Planche-T3-2024-2025 ci-jointe, les exercices 1 à 3 n’ont pas été traités en classe. (La rédaction du 1 est très élémentaire car c’était un énoncé pour les 1ère année…)
Les exercices du type 5 et 6 sont vraiment très basiques et importants pour tout le monde !
joffremp2 