Colles de maths sem 11 : lundi 9 décembre

Suites d’intégrales : convergence dominée et  et série d’intégrales et intégration terme à terme.

D’abord révision du programme précédent, notamment toujours soigner les justifications d’intégrabilité ou de convergence de l’intégrale.

Beaucoup de « Questions de cours » possibles :

• Citer très précisément les deux théorèmes d’intégration d’une limite (celui avec  la CVU sur un segment vs le T.C.D. de Lebesgue) : lequel sait-on démontrer 🙂 ?
  • Donner un exemple d’une suite de fonctions (f_n) qui Converge Uniformément  sur un intervalle I (non borné) vers une fonction f et telle que l’intégrale sur I des f_n ne converge PAS vers l’intégrale sur I de f (étalement de la bosse : un dessin peut suffire, une fois transformé en fonction affine par morceau).
• Application du T.C.D. avec des « bornes variables »  exemple de la limite de
• Etude des intégrales de Wallis : détermination d’un équivalent. Toutes les étapes (relation de récurrence, invariant, encadrement) doivent être mémorisées.
  • Méthode l’I.P.P fait sortir le terme prépondérant pour un équivalent, si f(1) non nul, de :
• Le même équivalent par la méthode de changement de variable.
• Intégration terme à terme d’une CVU sur un segment :
  • • application aux séries entières,  comment obtenir le D.S.E. de ln(1+x) à partir de celui de 1/(1+x) sur ]-1,1[.
    •  application à la formule donnant les coefficients a_n et b_n d’une série trigonométrique  comme des intégrales sur sa somme (formule des coeff. de Fourier).
• Théorème d’intégration terme à terme de Lebesgue en deux théorèmes : cas positif et cas signe quelconque. Donner des énoncés précis !  Dans la pratique, si on part d’une fonction déjà intégrable qu’on développe en série, il y a beaucoup moins de vérifications à faire que si la fonction dans l’intégrale n’a pas d’autre expression que cette somme de série.
• Ce qu’on fait quand le théorème ne s’applique pas (notamment en cas de Cv par théorème des séries alternées spéciales).
• Planche I2 :  tous les exercices de la planche ont été traités sauf le 10 qui est le frère du 9. Planche-I2-2024-2025
• Banque CCINP : pour réviser les séries de fonctions, ex. 14.1,14.2,15, 16,17. (en priorité par rapport à ceux marqués sur la planche I2 sur lesquels vous pouvez aussi vous entraîner).