Topologie : en plus du programme précédent :
- ouverts et fermés relatifs : définition d’un ouvert de A, d’un fermé de A, caractérisations (démo non exigibles mais énoncés à bien connaître).
- déf. de la continuité en un point et caractérisation avec les voisinages avec démonstration.
- caractérisation globale de la continuité : une seule implication est au programme officiel: f est continue de A dans F alors la préimage d’un ouvert de F est un ouvert de A (resp. d’un fermé) : démo. non exigible, par contre : savoir bien la mettre en oeuvre pour montrer que tel ensemble est ouvert ou fermé.
- Savoir justifier qu’une application donnée est continue : théorème d’opération, continuité des formes coordonnées, et donc des fonctions polynomiales ou rationnelles.
- Exercice : Justifier la continuité de l’application A -> A^{-1} de GL_n(K) dans lui-même.
- Définir ce qu’est un homéomorphisme et pourquoi l’image d’un ouvert par un homéo est un ouvert. Donner. un exemple de fonction continue bijective qui n’est pas un homéo.
Sur la Planche-T2-2024-2025 : les exercices de 1 à 12 sauf le 4, 5c) et 6 ont été traités. On a particulièrement insisté sur les exemples de topologie dans M_n(K).
Ne pas hésiter à donner des questions reliées à l’algèbre linéaire pour bien ancrer ces notions et bien sûr les exercices de la banque CCINP marqués en haut de planche T2.
PAS de Continuité des applications linéaires et de normes d’opérateurs cette semaine.
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