Colles de maths semaine 4 du lundi 7 Octobre

Début de l’étude de la réduction des endomorphismes et de la  diagonalisation.

• Révisions sur les formules de changement de base, pour les vecteurs et les applications linéaires.
• valeurs propres, vecteurs propres : recherche à l’aide de l’équation aux valeurs propres sur des exemples en dim. finie ou infinie.
• caractérisation : lambda v.p. d’une matrice A ssi det(A-lambda I)=0, application aux v.p. des matrices de petites tailles et des matrices triangulaires
• Démonstration du fait que des s.e.v. propres associés à des v.p. distinctes sont en somme directe
• Si lambda est v.p. d’un endomorphisme L et si P est un polynôme alors P(lambda) est v.p. de P(L). Conséquence si P est annulateur de L, Sp(L) est inclus dans Z(P).
• Les v.p. de L sont exactement les racines du polynôme minimal de L.
• Théorème de décomposition des noyaux : démonstration pour un produit de deux polynômes. On sera spécialement attentif à la bonne compréhension des objets manipulés  : P(L)(x) et pas P(L(x)) et (PQ)(L)=P(L) o Q(L) etc…
• Savoir donner le maximum de caractérisations d’une matrice diagonalisable et la C.S. « n v.p. distinctes en dim. n  » mais en fait retenir surtout et pour chaque exercice  qu’il y a d’un côté le point de vue géométrique (avec les vecteurs propres et les sev propres)  et de l’autre côté  le point de vue algébrique (avec les polynômes annulateurs, le minimal) .
• Montrer que si f est dz, alors l’endomorphisme f_F induit par f sur un s.e.v. stable F est encore dz.

Pour les colleurs : ON NE PRONONCE PAS LE MOT  POLYNÔME CARACTERISTIQUE  CETTE SEMAiNE ET de condition de diagonalisabilité avec celui-ci.

Pas d’exercice de la banque CCINP cette semaine. Pour la planche seulement  les exercices 1 à 10. Planche-R1-2024-2025

Les exercices sur les matrices semblables sont conceptuellement  importants à retravailler : « semblable » se montre avec l’endomorphisme  canoniquement associé.

Pour la recherche des v.p. on a essentiellement travaillé les deux méthodes ‘det(A-lambda I)=0’ ou bien ‘AX=lambda X’ (eq aux v.p).  L’utilisation des polynômes annulateurs pour les vp et la dz  (exercice  13 et suivants) sera retravaillée plus concrètement en début de semaine, donc sur ce sujet rester très proche du cours.