Révisions et compléments d’algèbre commutative.
La motivation principale de cette semaine est d’introduire les idéaux des anneaux de polynômes pour la définition du polynôme annulateur d’une matrice ou d’un endomorphisme. Mais cela étant, c’est aussi l’occasion de voir et revoir un certain nombres de notions sur l’algèbre commutative, l’arithmétique et les polynômes. Il est important de vérifier que les différentes structures (groupes, anneaux, corps, algèbres et donc idéaux) sont bien connues. Pas de résultat sur le groupes cette semaine, le cadre est celui de l’algèbre commutative.
Pour le cours :
- Qu’est-ce qu’un anneau, qu’est-ce corps ? Montrer que Z/nZ est un corps ssi Z/nZ est intègre ssi n est un nombre premier.
- Plus généralement : pour a dans Z, montrer que la classe de a est inversible dans l’anneau Z/nZ ssi a et n sont premiers entre eux
- savoir définir ce qu’est un idéal et savoir la forme des idéaux de K[X] et de Z (démonstration faite dans K[X]).
- Définir le polynôme minimal d’un matrice (resp. d’un endomorphisme d’un e.v. de dim. finie) et savoir pourquoi tout polynôme annulateur est un multiple du polynôme minimal.
- Expliciter le polynôme minimal d’une matrice diagonale.
- Montrer que dim K[A]=deg(mu_A).
- Montrer que si A est une matrice inversible alors A^{-1} est dans K[A].
- Montrer que si A est une matrice et P est un polynôme alors P(A) est une matrice inversible ssi P est premier avec le polynôme minimal de A.
Pour les exercices surtout des révisions de première année sur les vérifications élémentaires sur les structures, éventuellement les congruences dans Z, mais surtout les polynômes et notamment polynômes complexes. La planche Planche-A2-2024-2025 a été traitée sauf l’exercice 10 et on traitera le 13 lundi.
Les exercices de la banque CCINP proposés couvrent une partie de ce programme de révision (racines de l’unité, polynômes de Lagrange, formule de Taylor pour les polynômes).
Bonne semaine !
joffremp2 