Thème : calcul différentiel, reprise du programme précédent et on rajoute le calcul à l’ordre deux, mais pas d’équations aux dérivées partielles cette semaine.
On insistera sur les exercices d’étude d’éventuels de maxima/minima locaux avec la hessienne.
Questions de cours possible :
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- Vecteur tangent en un point x à un sous-ensemble X de R^n : définition, exemples, structure de cône de l’ensemble T_x X de ces vecteurs.
- Exemple si X est une sphère (savoir refaire) dans R^n.
- Cas général si x est un point régulier d’une hypersurface X définie par l’équation g=0 alors T_x X est l’hyperplan défini par ker dg(x) (une inclusion admise dans le cadre général : dans certains exemples, on montre l’inclusion manquante)
- C.N. d’extremum pour f en un point x d’un ouvert U : df(x)=0 (point critique).
- C.N. d’extremum pour f_|X où X sous ensemble qcq : T_x X inclus dans Ker df(x)
- C.N. d’extremum pour f_|X en un point régulier x d’une hypersurface d’équation g=0 : df(x)= k dg(x).
- Calcul différentiel d’ordre 2 :
- fonctions C^2, C^k, théorème de Schwarz (admis)
- Calcul (important) de la dérivée seconde de t->f(a+tx)
- Définition de la Hessienne d’une fonction f : U -> R, c’est aussi la jacobienne du gradient de f.
- Savoir citer le théorème de Taylor-Young à l’ordre 2 (admis)
- C.N. de min. local : point critique a tel que Hf(a) soit symétrique positive (savoir dém).
- C.S. de min. local : point critique a tel que Hf(a) soit définie positive. (savoir dém.)
- Pratique en dim. 2 avec det(Hf(a)) et Tr(Hf(a)).
- Exemple où Hf(a) est dégénérée (0 v.p.) en exercice.
- Calcul différentiel d’ordre 2 :
Sur la planche tous les exercices jusqu’au 14 compris ont été faits en classe.
Pas d’E.D.P. cette semaine. Banque CCINP : travailler en priorité les ex 56 et 41.
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