Semaine du lundi 18 mars 2024 : fonctions d’une variable réelle à valeurs vectorielles et début du calcul différentiel pour les fonctions de plusieurs variables.
Dans l’idéal un peu des deux thèmes mais pour le second :
Le cours de calcul diff. est encore tout frais pour les élèves, les questions resteront donc très proches du cours et très élémentaires. Il s’agit surtout d’asseoir la compréhension de la nature des objets… qu’est-ce que df, df(x), df(x).h, le gradient etc..
Les deux types d’exercices standard sur le calcul diff sont représentés par les deux exercices 57 et 58 de la banque CCINP : ce sera les deux seuls exercices de la banque exigibles pour cette semaine : étude via les dérivées partielles et le caractère C^1 ou bien étude via la déf. de la différentiabilité (D.L1).
Exemples de questions de cours sur les deux chapitres :
Chapitre fonctions vectorielles d’une variable réelle :
- Trois définitions équivalentes de la dérivabilité pour f : I -> E (dém. non demandée)
- Dérivée de L o f si f est dérivable de I dans E et L est linéaire de E dans F (dém.) : à reméditer après le cours de calcul diff.
- Dérivée de B(f,g) si f (resp. g) sont dérivables de I dans E (resp. dans F) et B : E x F-> G est bilinéaire.
- Extension du point précédent aux applications n-linéaires (typiquement déterminant).
- Dérivation de t-> exp(tA) par théorème de dérivation terme à terme à valeurs vectorielles.
- Inégalité triangulaire pour les intégrales de fonctions vectorielles et application à l’I.A.F. dans l’hypothèse C^1.
- Formules de Taylor à savoir parfaitement (ne pas hésiter à le vérifier …)
Chapitre Calcul Diff (début !) :
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- Définition de la dérivée D_v f(a) de la fonction f selon le vecteur v au point a et lien avec les dérivées partielles, cas où f est une norme N et a=0 ?
- Savoir qu’il existe des fonctions f telles que D_v f(a) existe pour tout v et qui ne sont pourtant pas continues en a (exemple donné en cours pas à savoir par coeur).
- Définition de la différentiabilité notation df(x).h, existence d’un D.L. 1, et définition du gradient pour les fonctions à valeurs réelles . La différentiabilité entraîne la continuité et l’existence des dérivées suivant tout vecteur.
- Exemples concrets de calculs de DL 1 et notamment dans le cadre matriciel cf. ex. 4, (crucial !) et ex 5 planche et exo de cours sur M-> M^{-1}.
- Déf. de f C^1 et caractérisation cruciale (admise) avec la continuité des dérivées partielles à utiliser sur des exemples.
- Différentielle d’un produit (sans démo)
- Différentielle d’une fonction composée (sans démo) notamment la formule de dérivation le long d’une courbe.
- Tous les exercices des deux planches ont été faits sauf le dernier de chaque planche. Planche-D1-2023Planche-D2-2023
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