Approximation dans les espaces de fonctions, espaces préhilbertiens.
Cette semaine est aussi l’occasion de réviser et consolider les acquis de 1ère année sur les espaces euclidiens et préhilbertiens.
« Questions de cours » possibles :
- Citer le théorème d’approximation uniforme des fonctions c.p.m. par des fonctions en escalier et savoir l’appliquer pour démontrer le théorème de Riemann-Lebesgue sur un segment (thme H.P. mais à connaître aussi bien pour le résultat que pour la méthode).
- Citer le théorème d’approximation de Weierstrass et montrer qu’on ne peut pas espérer une CVU sur R entier car si une suite de polynômes CVU sur R entier….
- Dans le cadre préhilbertien : montrer que l’orthogonal d’une partie dense est réduit à {0}. Application au ‘lemme des moments’ (Banque CCINP 48 même si le corrigé de la banque est formulé sans produit scalaire, voir la rédaction faite en classe !).
- Montrer que L^2_continue(I,R) est un espace préhilbertien.
- Déterminer l’orthogonal des suites nulles A.P.C.R. dans l^2(N).
- Révision de première année : CNS d’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz et dans l’inégalité triangulaire.
- Existence d’un supplémentaire orthogonal pour un s.e.v. de dim. finie d’un espace préhilbertien.
- Formule de calcul de la projection orthogonale quand on connait une base orthogonale de ce s.e.v. : applications sur des exemples, cas des sommes partielles de la série de Fourier de f.
- Le projeté orthogonal d’un vecteur v sur un sev F minimise la distance entre v et les vecteurs de F.
- Mise en oeuvre de l’orthogonalisation de Gram- Schmidt sur des exemples.
Sur la Planche-T4-2023 tous les exercices sauf le 5 ont été traités en classe mais il est clair que la thématique sur l’approximation uniforme est plus difficile et plutôt (à part les QdC ci-dessus) à réserver en deuxième partie de colles pour les élèves les plus à l’aise. Pour tout le monde, on testera en priorité la solidité des connaissances sur les espaces préhilbertiens, sur les produits scalaires usuels, Cauchy-Schwarz (revoir les exercices faits en sup sur cette inégalité car pas eu le temps d’en mettre assez sur la planche et ceux de la Banque CCINP là-dessus 77, 79), et surtout les projections orthogonales et l’orthogonalisation.
A cet égard, il est un peu regrettable que les ex 80, 81, 82 de la Banque CCINP permettent un calcul ‘avec une astuce’ du projeté orthogonal sans tester le recours à une méthode générale.
Bonne semaine
joffremp2 