Ce qui suit est pour la semaine de la rentrée, mais bien noter que pour la semaine 14 du 15 janvier qui suivra le programme sera : REVISIONS sur Séries et Intégrales : séries numériques, séries de fonctions, séries entières, et tout sur les intégrales, avec un exercice obligatoire de la banque CCINP Exercices 1 à 12, 14 à 32, 46, 47, 49 à 51 et 53. Cela fait 38 exercices, et cela ne s’improvise pas! Donc trois par jour pendant ces vacances !
Semaine 13 du lundi 8 janvier : intégrales à paramètres.
Pour ce qui est des trois théorèmes du cours :
- version à variable continue du théorème de convergence dominée,
- théorème de continuité pour les intégrales à paramètres
- théorème sur le caractère C^k des intégrales à paramètres
je cite le programme officiel :
« Pour l’application pratique des énoncés de ce paragraphe, on vérifie les hypothèses de régularité par rapport à x et de domination, sans expliciter celles relatives à la continuité par morceaux par rapport à t »
Autrement dit sachant qu’en fait à chaque fois on commence par vérifier l’intégrabilité de l’intégrande dans la question sur la bonne définition de l’intégrale, et qu’on est donc dans le cadre de la théorie de Lebesgue (ces intégrales n’ont d’ailleurs rien « d’impropre » ce sont des intégrales tout à fait « propres » en théorie de Lebesgue… les seules impropres étant les intégrales semi-convergentes), bref, donc quand on en arrive à utiliser ces théorèmes il y a essentiellement deux hypothèses à vérifier comme indiqué ci-dessus (H1 : la régularité C^0, C^k, C^infinie, ou la convergence simple pour le TCD, H2 la domination).
Le cours est fait autour de trois fils rouges : transformée de Laplace, transformée de Fourier et fonction Gamma. Les exemples faits qui sont tous des exercices à savoir refaire (et pas des résultats du programme) sont les suivants :
- Continuité de la TF (transformée de Fourier) d’une fonction intégrable
- Continuité sur ]0,+oo[ de la TL (transformée de Laplace) d’une fonction c.p.m. bornée, extension à la variable complexe.
- Théorème de la valeur initiale pour la transformée de Laplace dans le cas facile d’une fonction bornée : L(f)(x)=f(0)/x+ o(1/x) quand x–>+oo.
- Lemme de Riemann-Lebesgue dans le cas facile où f est de classe C^1 et f et f’ sont intégrables : F(f)(x) –>0 pour x–>+oo
- Caractère C^1 et dérivation de la TL du sinus cardinal sur l’ouvert ]0,+oo[ : application au calcul de cette Transformée.
- Calcul de la dérivée p-ième de la TF d’une fonction f telle que pour tout k=0,1,..p, la fonction t-> t^k f(t) doit intégrable. (Si ceci est vrai pour tout p, on dit que la fonction est « à décroissance rapide »).
- Etude complète de la fonction Gamma : notamment justification soigneuse du caractère C^k et justifications pour le tracé du graphe.
- REVOIR les techniques de calculs d’intégrales et de primitives (1ère année, planche I1).
- Bien savoir aussi dériver si x est dans les bornes des intégrales (1ère année… et pas que..)
Planche-I3-2023 (seulement commencée ex 1,2 faits mais il est très conseillé d’avancer la planche pour les vacances, nous reparlerons de ces exercices le jour de la rentrée).
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