Topologie
- ouverts et fermés relatifs : définition d’un ouvert de A, d’un fermé de A, caractérisations (démo non exigibles).
- déf. de la continuitéen un point et caractérisation avec les voisinages avec démonstration.
- caractérisation globale de la continuité : f est continue de A dans F ssi la préimage d’un ouvert de F est un ouvert de A (resp. d’un fermé) : démo. non exigible, par contre : savoir bien la mettre en oeuvre pour montrer que tel ensemble est ouvert ou fermé.
- Savoir justifier qu’une application donnée est continue : théorème d’opération, continuité des formes coordonnées, et donc des fonctions polynomiales ou rationnelles.
- Savoir étudier la continuité d’une fonction en un point à problème (ex. 6,7 pl. T2).
- Exercice : Justifier la continuité de l’application A -> A^{-1} de GL_n(K) dans lui-même.
- Définir ce qu’est un homéomorphisme et pourquoi l’image d’un ouvert par un homéo est un ouvert. Donner. un exemple de fonction continue bijective qui n’est pas un homéo.
- Caractérisation de la continuité des applications linéaires : 5 conditions, avec dém.
- Définition de la norme d’opérateur (trois formules équivalentes) avec dém.
- Calcul pratique de normes d’opérateur sur des exemples : seulement à partir de mercredi !
Sur la Planche-T2-2023 : tout le verso à été traité. En revanche les calculs de normes d’opérateurs seront pratiqués en début de semaine donc être plus aidant là-dessus. Ne pas hésiter à donner des questions reliées à l’algèbre linéaire pour bien ancrer ces notions et bien sûr les exercices de la banque CCINP marqués en haut de planche T2.
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